Cho HS \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=0\) và \({f}'\left( x \right)\left( 1+{{e}^{f\left( x \right)}} \right)=1+{{e}^{x}},\forall x\in \mathbb{R}.\) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và 2 đường thẳng \(x=1,x=3\)?

Câu hỏi:
Cho HS \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=0\) và \({f}'\left( x \right)\left( 1+{{e}^{f\left( x \right)}} \right)=1+{{e}^{x}},\forall x\in \mathbb{R}.\) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và 2 đường thẳng \(x=1,x=3\)?
- A.
  4
- B.
  2
- C.
  8
- D.
  5
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: A
+) Ta có \({f}'\left( x \right)\left( 1+{{e}^{f\left( x \right)}} \right)=1+{{e}^{x}}\Rightarrow {f}'\left( x \right)+{f}'\left( x \right){{e}^{f\left( x \right)}}=1+{{e}^{x}}\Rightarrow {{\left[ f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}} \right]}^{\prime }}=1+{{e}^{x}}\)

\(\Rightarrow f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}=x+{{e}^{x}}+C.\)

+) Lại có \(f\left( 0 \right)=0\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}=x+{{e}^{x}}.\)

Xét hàm số \(g\left( t \right)=t+{{e}^{t}}\) với \(t\in \mathbb{R}.\) \({g}'\left( t \right)=1+{{e}^{t}}>0,\forall t\in \mathbb{R}\) nên \(g\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Suy ra \(f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}=x+{{e}^{x}}\)\( \Rightarrow f\left( x \right)=x.\) Do đó

\(S=\int\limits_{1}^{3}{xdx}=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\left| \begin{align} & 3 \\ & 1 \\ \end{align} \right.=4.\)

Chọn A

Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

VIDEO

YOMEDIA

Trắc nghiệm hay với App HOC247

YOMEDIA

ADMICRO