Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B lên B 'C và B 'A

Dễ thấy \(AB \bot \left( {BCC'B'} \right)\) nên \(AB \bot BE\)

Lại có \(BE \bot B'C\) nên \(d\left( {AB,B'C} \right) = BE = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\) 

Tương tự có \(d\left( {BC,AB'} \right) = BF = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\) 

Xét các tam giác vuông BCB’ và BAB’ có: \(\frac{1}{{B{E^2}}} = \frac{1}{{B{F^2}}}\) 

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{B'{B^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} = \frac{1}{{B'{B^2}}} + \frac{1}{{B{A^2}}} \Leftrightarrow BC = BA\) hay ABCD là hình vuông

Suy ra \(BD \bot AC\). Lại có \(AC \bot DD'\) nên \(AC \bot \left( {BDD'} \right)\) 

Gọi \(M = AC \cap BD,O\) là tâm hình hộp và H  là hình chiếu của M  lên BD '

Khi đó \(AC \bot MH\) và \(MH \bot BD'\) nên \(d\left( {AC,BD'} \right) = MH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) 

Đặt \(BA = BC = x,BB' = y\) ta có:

Tam giác BB 'C vuông nên \(\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}} \right)}^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}}\left( 1 \right)\) 

Tam giác BMO vuông nên \(\frac{1}{{M{B^2}}} + \frac{1}{{M{O^2}}} = \frac{1}{{M{H^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}}.\) 

Mà \(MB = \frac{1}{2}BD = \frac{{x\sqrt 2 }}{2},MO = \frac{1}{2}DD' = \frac{y}{2}\) nên \(\frac{1}{{{{\left( {\frac{{x\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{y}{2}} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}} \Leftrightarrow \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{4}{{{y^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}}\left( 2 \right)\) 

Từ (1) và (2) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}}\\
\frac{2}{{{x^2}}} + \frac{4}{{{y^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}}\\
\frac{1}{{{y^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = a\\
y = 2a
\end{array} \right.\) 

Vậy thể tích khối hộp \(V = BA.BC.BB' = a.a.2a = 2{a^3}\)