OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE
  • Câu hỏi:

    Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB=a\sqrt{3},\,\,AD=a.\) Tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo \(a\) diện tích \(S\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD.\) 

    • A. 
      \(S=5\pi {{a}^{2}}.\) 
    • B. 
      \(S=2\pi {{a}^{2}}.\)    
    • C. 
      \(S=10\pi {{a}^{2}}.\)    
    • D. 
      \(S=4\pi {{a}^{2}}.\) 

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: A

    Cách 1:

    Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật \(ABCD\) là \({{R}_{ABCD}}=a.\)

    Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \({{R}_{\Delta \,ABC}}=a\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{3}=a.\)

    Áp dụng công thức tính nhanh, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) là

    \(R=\sqrt{R_{ABCD}^{2}+R_{\Delta \,ABC}^{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-\frac{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.\)

    Vậy diện tích mặt cầu cần tính là \(S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .{{\left( \frac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}=5\pi {{a}^{2}}.\)

    Cách 2 :

    Gọi H là trung điểm của \(AB\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\)

    Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD \(\Rightarrow \) O là tâm đường tròn ngoại tiếp \(ABCD\).

    Qua O kẻ đường thẳng \({{d}_{1}}//SH\Rightarrow {{d}_{1}}\bot \left( ABCD \right)\) tại O.

    Gọi \(G\) là tâm tam giác đều \(ABC,\) qua G kẻ \({{d}_{2}}//HI\Rightarrow {{d}_{2}}\bot \left( ABC \right)\) tại G.

    Gọi \(I={{d}_{1}}\cap {{d}_{2}}\Rightarrow I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp chóp \(S.ABCD\).

    Ta có : \(IO=GH=\frac{1}{3}SH=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{2};AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=2a\Rightarrow AO=\frac{1}{2}AC=a\).

    Xét tam giác vuông  AIO có \(IA=\sqrt{I{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)

    Vậy diện tích mặt cầu cần tính là \(S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .{{\left( \frac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}=5\pi {{a}^{2}}.\)

    Chọn A.

    Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

ADSENSE/
QUẢNG CÁO
 

 

CÂU HỎI KHÁC

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12