OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE
  • Câu hỏi:

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh \(a\). Mặt bên SAB là tam giác cân với \(\widehat {ASB} = 120^\circ \) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Xác định tâm và tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp.

    Lời giải tham khảo:

    Gọi H là trung điểm của AB.

    Gọi I, J lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) và \(\Delta SAB\).

    Do \(\Delta ABC\) đều nên \(I \in CH\) và \(CH \bot AB\).

    \(\Delta SAB\) cân tại S nên \(J \in SH\) và \(SH \bot AB\).

    Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {\begin{array}{*{20}{c}}
    {\begin{array}{*{20}{c}}
    {\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)}\\
    {\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB}
    \end{array}}\\
    {SH \subset \left( {SAB} \right)}
    \end{array}}\\
    {CH \subset \left( {ABC} \right)}
    \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {SH \bot \left( {ABC} \right)}\\
    {CH \bot \left( {SAB} \right)}
    \end{array}} \right.\).

    Trong mặt phẳng (SCH) dựng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {Ix\,{\rm{//}}\,SH}\\
    {Jy\,{\rm{//}}\,CH}
    \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {Ix \bot \left( {ABC} \right)}\\
    {Jy \bot \left( {SAB} \right)}
    \end{array}} \right.\)

    \( \Rightarrow Ix; Jy\) lần lượt là trục đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) và \(\Delta SAB\).

    Trong mặt phẳng (SCH): \(Ix \cap Jy = O \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {O \in Ix}\\
    {O \in Jy}
    \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {OA = OB = OC}\\
    {OA = OB = OS}
    \end{array}} \right.\)

    \( \Rightarrow OA = OB = OC = OS\)

    \( \Rightarrow O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

    Ta có \(OJ = IH = \frac{1}{3}CH = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

    Áp dụng định lí sin trong tam giác SAB ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin S}} = 2{R_{SAB}} = 2JS \Rightarrow JS = \frac{{AB}}{{2\sin S}} = \frac{a}{{2\sin 120^\circ }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

    Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: \(R = \sqrt {O{J^2} + S{J^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt {15} }}{6}\).

    \( \Rightarrow\) Thể tích mặt cầu là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt {15} }}{6}} \right)^3} = \frac{{5\pi \sqrt {15} {a^3}}}{{54}}\).

    Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

ADSENSE/
QUẢNG CÁO
 

 

CÂU HỎI KHÁC

NONE
OFF