Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong \(\left( C \right)\), biết đồ thị của \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ Tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A,B\) phân biệt lần lượt có hoành độ \(a,b.\) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Câu hỏi:
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong \(\left( C \right)\), biết đồ thị của \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ

Tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A,B\) phân biệt lần lượt có hoành độ \(a,b.\) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
- A.
  \(a,b<3\).
- B.
  \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}>10\).
- C.
  \(4\ge a-b\ge -4\).
- D.
  \(a,b\ge 0\).
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: B
Từ đồ thị \(f'\left( x \right)\) suy ra \(f'\left( 1 \right)=0.\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 1 là

\(y=f'\left( 1 \right)\left( x-1 \right)+f\left( 1 \right)\Leftrightarrow y=f\left( 1 \right).\)

Phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến và đồ thị \(\left( C \right)\) là: \(f\left( x \right)=f\left( 1 \right)\)

Từ đồ thị \(f'\left( x \right)\) suy ra \(f'\left( -1 \right)=f'\left( 3 \right)=0.\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y=f\left( x \right).\)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng \(y=f\left( 1 \right)\) cắt đồ thị hàm số tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \(a,1,b\) với \(a<-1\) và \(b>3.\) Suy ra \({{b}^{2}}>9\) và \({{a}^{2}}>1.\)

Vậy \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}>10.\)

Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải