-
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f(x)={{\ln }^{3}}x+6(m-1){{\ln }^{2}}x-3{{m}^{2}}\ln x+4\). Biết rằng đoạn [a, b] là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y=|f(x)|\) đồng biến trên khoảng \((e,+\infty )\). Giá trị biểu thức \(a+3b\) bẳng
-
A.
\(4+\sqrt{6}\).
-
B.
\(12+2\sqrt{6}\). D.
-
C.
2.
-
D.
3.
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: A
Chọn A
Đặt \(t=\ln x\) là hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty )\) và \(x\in (e,+\infty )\to t\in (1;+\infty )\).
Xét hàm số \(g(t)={{t}^{3}}+6(m-1){{t}^{2}}-3{{m}^{2}}t+4\) trên khoảng \((1;+\infty )\).
Ta có: \({{g}^{\prime }}(t)=3{{t}^{2}}+12(m-1)t-3{{m}^{2}}\) và \(\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(t)=+\infty \)
Hàm số \(y=|g(t)|\) đồng biến trên khoảng \((1;+\infty )\Leftrightarrow \)
\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{g}^{\prime }}(t)\ge 0,\forall t\in [1;+\infty )(1) \\ g(1)\ge 0 \\ \end{array} \right.\)
\(+(2)\Rightarrow -3{{m}^{2}}+6m-1\ge 0\)\( \Rightarrow \frac{3-\sqrt{6}}{3}\le m\le \frac{3+\sqrt{6}}{3}\)
\(+{{\Delta }_{{{g}^{\prime }}}}=36{{(m-1)}^{2}}+9{{m}^{2}}>0,\forall m\to {{g}^{\prime }}(t)\) luôn có 2 nghiệm \({{t}_{1}},{{t}_{2}}\)
\( \text{ (1) }\Rightarrow {{t}_{2}}=-2(m-1)+\sqrt{5{{m}^{2}}-8m+4}\le 1\\ \Leftrightarrow \sqrt{5{{m}^{2}}-8m+4}\le 2m-1 \\ \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2m-1\ge 0 \\ 5{{m}^{2}}-8m+4\le 4{{m}^{2}}-4m+1 \\ \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2m-1\ge 0 \\ {{m}^{2}}-4m+3\le 0 \\ \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} m\ge \frac{1}{2} \\ 1\le m\le 3 \\ \end{array}\\ \Leftrightarrow 1\le m\le 3. \right.\)
Kết hơp (1) và (2) ta được \(m\in \left[ 1;\frac{3+\sqrt{6}}{3} \right]\)\( \Rightarrow a=1;b=\frac{3+\sqrt{6}}{3}\).
Vậy \(a+3b=4+\sqrt{6}\).
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Nghiệm của phương trình \({{2023}^{x-1}}=1\) là
- Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng \(8\pi \) và độ dài đường sinh là \(4\)
- Số điểm cực trị của hàm số \(y=-{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+3\) là
- Tập nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{2}}\left( x-2 \right)
- Cấp số nhân \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có số hạng đầu \({{u}_{1}}=1\)
- Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng của hình bên?
- Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), điểm \(M'\)đối xứng với điểm
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên đoạn
- Cho đồ thị hàm số \(y=\frac{x}{x-2}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
- Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), phương trình mặt phẳng
- Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), vectơ
- Số phức liên hợp của số phức \(1-3i\) là
- Cho hàm số \(y={{x}^{3}}+x+1\). Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
- Tìm tập xác định của hàm số \(y=\ln \left( -{{x}^{2}}+4 \right)\).
- Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số
- Cho khối trụ \(\left( T \right)\) có bán kính đáy bằng \(2\) và chiều cao bằng \(4\)
- Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều tất cả các cạnh bằng \(2\) là
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
- Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3x+1\)
- Cho hình chóp \(S.ABC\) có \({A}',\,\,{B}'\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,SB\)
- Cho \(M\) là giao điểm của đồ thị hàm số \(y=\frac{x+1}{x-2}\) với trục hoành
- Với \(a,b\) là các số thực dương bất kì, \({{\log }_{2}}\left( a{{b}^{3}} \right)\) bằng:
- Một túi đựng 5 bi xanh và 5 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bi
- Tổng hai nghiệm của phương trình \({{2}^{{{x}^{2}}+x+1}}={{8}^{2x}}\)
- Số nghiệm nguyên của bất phương trình
- Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), đường thẳng \(d\) đi qua điểm
- Cho số phức \(z=1+i\). Môđun của số phức \(w=\left( 1+3i \right)z\) là
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn
- Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{-2}\) và mặt phẳng
- Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị \(\left( P \right):y=2x-{{x}^{2}}\)
- Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh \(2a\) là
- Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh
- Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\)
- Tìm \(a\) để đồ thị hàm số \(y={{\log }_{a}}x\left( 0
- Trong không gian, cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB=2\),\(AD=1\)
- Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\text{lo}{{\text{g}}_{3}}\frac{{{x}^{2}}-9}{125}\le \text{lo}{{\text{g}}_{5}}\frac{{{x}^{2}}-9}{27}\)?
- Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( -1;1;3 \right)\) và hai đường thẳng \(\Delta :\frac{x-1}{3}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-1}{1}\), \({\Delta }':\frac{x+1}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z}{-2}\)
- Cho lăng trụ đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có cạnh đáy bằng \(a\)
- Cho hàm số\(y=f\left( x \right)\)xác định \(R\backslash \left\{ 0 \right\}\) thoả mãn
- Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số
- Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \({{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)z+{{m}^{2}}=0\) (\(m\) là tham số thực).
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ -5;\,3 \right]\)
- Cho \(g\left( x \right)={{x}^{2}}-2x-1\) và hàm số \(y=f\left( x \right)\)
- Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật
- Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\left( b,c\in \mathbb{R} \right)\)
- Cho hình nón đỉnh \(S,\) đáy là hình tròn tâm \(O,\) góc ở đỉnh của hình nón
- Cho hai số phức \({{z}_{1}},\,\,{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}+2-i \right|+\left| {{z}_{1}}-4-7i
- Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):x-y+z+7=0,\)
- Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để tập nghiệm của bất phương trình
- Cho hàm số \(f(x)={{\ln }^{3}}x+6(m-1){{\ln }^{2}}x-3{{m}^{2}}\ln x+4\).
