Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} + a\) trên đoạn [0;2], có:

\(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 12{x^2} + 8x\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 12{x^2} + 8x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = 2 \end{array} \right.\).

Vì \(f(0) = a,f\left( 1 \right) = 1 - 4 + 4 + a = a + 1,f\left( 2 \right) = {2^4} - {4.2^3} + {4.2^2} + a = a\) nên trên đoạn [0;2] giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} + a\) lần lượt là a + 1, a.

Suy ra \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\,2} \right]} \left\{ {\left| a \right|;\left| {a + 1} \right|} \right\};m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\,2} \right]} \left\{ {\left| a \right|;\left| {a + 1} \right|} \right\}\) nếu \(a\left( {a + 1} \right) > 0\). m = 0 nếu \(a\left( {a + 1} \right) \le 0\).

TH1: \(a \in \left[ { - \frac{1}{2};2} \right]\)

\(M = \left| {a + 1} \right|;m = \left| a \right|\). Khi đó \(M \le 2\,m \Leftrightarrow \left| {a + 1} \right| \le 2\left| a \right| \Leftrightarrow 3{a^2} - 2a - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a \le - \frac{1}{3}\\ a \ge 1 \end{array} \right.\), vì \(a \in Z\) nên chọn \(a \in \left\{ {1;\,2} \right\}\)

TH2: \(a \in \left[ { - 3; - \frac{1}{2}} \right)\)

\(M = \left| a \right|;m = \left| {a + 1} \right|\). Khi đó \(M \le 2\,m \Leftrightarrow \left| a \right| \le 2\left| {a + 1} \right| \Leftrightarrow 3{a^2} + 8a + 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a \ge - \frac{2}{3}\\ a \le - 2 \end{array} \right.\), vì \(a \in Z\) nên chọn \(a \in \left\{ { - 3;\, - 2} \right\}\)

Vậy có 4 giá trị a thỏa yêu cầu.