Cho đường tròn (O), từ điểm A nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB, AC ( với B, C là tiếp điểm).

Câu hỏi:
Cho đường tròn (O), từ điểm A nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB, AC ( với B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy điểm M, lần lượt kẻ MI, MH, MK vuông góc với BC, CA, AB tương ứng tại I, H K. Gọi P là giao điểm của MB và IK, Q là giao điểm của MC và IH. Gọi \(\left( {{O_1}} \right)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác MPK , \(\left( {{O_2}} \right)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác MQH; N là giao điểm thứ hai của \(\left( {{O_1}} \right)\) và \(\left( {{O_2}} \right)\).

1. Chứng minh tứ giác BIMK nội tiếp được

2. Chứng minh \(\widehat {IMH} = \widehat {IMK}.\)

3. Chứng minh PQ là tiếp tuyến chung của đường tròn \(\left( {{O_1}} \right)\) và \(\left( {{O_2}} \right)\)

4. Chứng minh khi M thay đổi trên cung nhỏ BC thì đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải tham khảo:

1.

Xét tứ giác BIMK có \(\widehat {BKM} = {90^o},\widehat {BIM} = {90^o},\) suy ra tứ giác BIMK nội tiếp được.

2. Chứng minh tương tự tứ giác CIMH nội tiếp được.

Do các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được nên suy ra

\(\widehat {IMK} = {180^o} - \widehat {ABC},\widehat {IMH} = {180^o} - \widehat {ACB}.\)

Vì AB = AC (tính chất của tiếp tuyến) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}.\)

Vậy nên \(\widehat {IMK} = {180^o} - \widehat {ABC} = {180^o} - \widehat {ACB} = \widehat {IMH}.\)

3.

Ta có \(\widehat {MBK} = \widehat {MIK}\) (Tứ giác BIMK nội tiếp)

\(\widehat {MBK} = \widehat {BCK}\) (=\(\frac{1}{2}\) sđBM ). Suy ra \(\widehat {MIK} = \widehat {BCK}\) hay \(\widehat {MIP} = \widehat {BCM}\)

Chứng minh tương tự \(\widehat {MBC} = \widehat {MIQ}\)

Ta có được \(\widehat {PMQ} + \widehat {PIQ} = \widehat {PMQ} + \widehat {MBC} + \widehat {BCM} = {180^0}\) .Suy ra tứ giác MPIQ nội tiếp

Chứng minh \(\widehat {MKP} = \widehat {MPQ};\widehat {MHQ} = \widehat {MQP}\) => đpcm

4.

+) Chứng minh được: TP² = TM.TN=TQ² suy ra T là trung điểm PQ.

+) Chứng minh SB=SC suy ra S là trung điểm của BC cố định.

Kết luận: MN luôn đi qua S cố định.

Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải