-
Câu hỏi:
Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = \frac{1}{{3 - ab}} + \frac{1}{{3 - bc}} + \frac{1}{{3 - ca}}\).
Lời giải tham khảo:
Áp dụng bđt \(\frac{{{{(a + b)}^2}}}{{x + y}} \le \frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y}\) với \(a, b, x, y>0\)
\(\frac{1}{{3 - ab}} = \frac{{(3 - ab) + ab}}{{3(3 - ab)}} = \frac{1}{3} + \frac{{ab}}{{3(3 - ab)}} \le \frac{1}{3} + \frac{{ab}}{{3(3 - \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2})}} = \frac{1}{3} + \frac{{2ab}}{{3({a^2} + {b^2} + 2{c^2})}}\)
\(\frac{1}{{3 - ab}} \le \frac{1}{3} + \frac{1}{6}.\frac{{{{(a + b)}^2}}}{{({a^2} + {c^2}) + ({b^2} + {c^2})}} \le \frac{1}{3} + \frac{1}{6}.\left[ {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {c^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}} \right]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)
Tương tự cộng lại có \(P \le \frac{3}{2}\) nên max \(P = \frac{3}{2}\) khi \(a=b=c=1\)
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Tìm tập xác định của các hàm số sau:a) \(y = \sqrt {20 - 4x} \)b) \(y = \sqrt {\frac{{x + 1}}{{4 - 2x}}} \)
- Giải các bất phương trình sau:a) \(\frac{{ - 3x + 1}}{2} \ge 2 + \frac{{2x - 4}}{3}\)b) \(x - 2y + 4 \le 0\)
- Xét dấu biểu thức \(f\left( x \right) = \frac{{\left( { - 2x + 8} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} + 5x - 6} \right)}}\)
- Tìm m để \(f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right){x^2} - 4x + 1\) không âm với mọi x thuộc R.
- Chứng minh bất đẳng thức: \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{ab}} + \frac{{ab}}{{{a^2} + {b^2}}} \ge \frac{5}{2}\), với \(\forall a,b > 0\)
- Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\).