-
Câu hỏi:
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
\(\frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{c} + \frac{{{c^2}}}{a} \ge \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} + \sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} + \sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} .\)
Lời giải tham khảo:
Ta có:
\(\left( {\frac{{{a^2}}}{b} - a + b} \right) + b = \frac{{{a^2} - ab + {b^2}}}{b} + b \ge 2\sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} \) (Áp dụng BĐT Cô-si)
\( = \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} + \sqrt {\frac{3}{4}{{\left( {a - b} \right)}^2} + \frac{1}{4}{{\left( {a + b} \right)}^2}} \ge \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} + \frac{1}{2}\left( {a + b} \right)\)
Suy ra: \(\frac{{{a^2}}}{b} - a + 2b \ge \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} + \frac{1}{2}\left( {a + b} \right)\) (1)
Tương tự, ta có:
\(\frac{{{b^2}}}{c} - b + 2c \ge \sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} + \frac{1}{2}\left( {b + c} \right)\) (2)
\(\frac{{{c^2}}}{a} - c + 2a \ge \sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} + \frac{1}{2}\left( {c + a} \right)\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
\(\frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{c} + \frac{{{c^2}}}{a} \ge \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} + \sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} + \sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} .\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b= c
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Cho biểu thức: M = \(\left( {\frac{{x + \sqrt x }}{{x\sqrt x + x + \sqrt x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{\
- 1. Giải phương trình: \(3{x^2} + x - \frac{{29}}{6} = \sqrt {\frac{x}{3} + \frac{{61}}{{36}}} \)2.
- 1.
- Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của tâm giác ABC.
- Cho a, b, c > 0.