Đề thi HSG cấp trường môn Toán lớp 10 - Trường THPT Chương Mỹ A có đáp án

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT CHƯƠNG MỸ A

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu

Ý

Nội dung

Điểm

1

1

+ m = 0 ⇒ y = -2 (ktm)

+ \(m \ne 0\) hàm số đồng biến trên (-3;1) khi m < 0

1.0

1.0

2

+ Hàm số có giá trị nhỏ nhất khi m > 0. Khi đó \({y_{min}} = - {m^2} - m - 2\).

+ Ycbt \( \leftrightarrow - {m^2} - m - 2 \le - 4\) \( \to m \ge 1\)

1.0

1.0

3

+ Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A. B khi phương trình:

\(m{x^2} - 2mx - {m^2} - 2 = 0\) (3)  có hai nghiệm phân biệt ⇔ \({\Delta ^,} > 0\)

\( \leftrightarrow m({m^2} + m + 2) > 0 \leftrightarrow m > 0\)

+ Gọi \(A({x_1};0);B({x_2};0)\) với \({x_1};{x_2}\) là nghiệm của phương trình (3)

Ta có: \(\overrightarrow {MA} = ({x_1} - 1; - 2);\overrightarrow {MB} = ({x_2} - 1; - 2)\)

Tam giác MAB vuông tại M ⇔ \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 0\)

⇔ \({x_1}{x_2} - ({x_1} + {x_2}) + 5 = 0\) 

\(\Leftrightarrow \frac{{ - {m^2} - 2}}{m} + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m = 2 \end{array} \right.\)

KL: \(\left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m = 2 \end{array} \right.\)

0.5

1.0

0.5

2

1

\(9{x^2} - 8x + 5 = (6x - 3)\sqrt {{x^2} + 3} {\rm{ }}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{x^2} + 3} } \right)^2} + (6x - 3)\sqrt {{x^2} + 3} + 8{x^2} - 8x + 2 = 0\)

\(\Delta = {(2x - 1)^2}\) ⇔ \(\left[ \begin{array}{l} \sqrt {{x^2} + 3} = 2x - 1\\ \sqrt {{x^2} + 3} = 4x - 2 \end{array} \right.\)

+ \(\sqrt {{x^2} + 3} = 2x - 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ge \frac{1}{2}}\\ {3{x^2} - 4x - 2 = 0} \end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{{2 + \sqrt {10} }}{3}\)

+ \(\sqrt {{x^2} + 3} = 4x - 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ge \frac{1}{2}}\\ {15{x^2} - 16x + 1 = 0} \end{array}} \right.\)

⇔ x = 1

Phương trình có 2 nghiệm \(\left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = \frac{{2 + \sqrt {10} }}{3} \end{array} \right.\)

1.0

1.0

2

\(({x^2} - 4x + 3)({x^2} - 8x + 12) \le 3{x^2}\)

\( \Leftrightarrow ({x^2} - 7x + 6)({x^2} - 5x + 6) \le 3{x^2}\) (2).

Do x = 0 không là nghiệm của (2) nên (2) \( \Leftrightarrow \left( {x + \frac{6}{x} - 7} \right)\left( {x + \frac{6}{x} - 5} \right) \le 3\)

Đặt \(t = x + \frac{6}{x}\). Ta có: \({t^2} - 12t + 32 \le 0\) \( \Leftrightarrow 4 \le t \le 8\)

Ta có:

\(4 \le x + \frac{6}{x} \le 8\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left[ \begin{array}{l} x < 0\\ 4 - \sqrt {10} \le x \le 4 + \sqrt {10} \end{array} \right.}\\ {x > 0} \end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow 4 - \sqrt {10} \le x \le 4 + \sqrt {10} \)

1.0

1.0

3

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} + {y^2} - 6xy + 3x - 5y = 0}\\ {2y(3{x^2} + {y^2}) = 7} \end{array}} \right.\)

Đặt \(x = \frac{{u + v}}{2};y = \frac{{u - v}}{2}\) ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^2} + u = 2{v^2} + 4v}\\ {{u^3} - {v^3} = 7} \end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3{u^2} + 3u = 6{v^2} + 12v}\\ {{u^3} - {v^3} = 7} \end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow {(u + 1)^3} = {(v + 2)^3}\)

\(\Leftrightarrow u = v + 1\)

\( \Rightarrow {v^2} + v - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} v = 1\\ v = - 2 \end{array} \right.\)

Với \(v = 1 \to u = 2 \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{3}{2}}\\ {y = \frac{1}{2}} \end{array}} \right.\)

Với \(v = - 2 \to u = - 1 \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = - \frac{3}{2}}\\ {y = \frac{1}{2}} \end{array}} \right.\)

Hệ có hai nghiệm \((x;y) = \left( { \pm \frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

1.0

1.0