Đề thi chọn HSG môn Toán 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD & ĐT Bình Định

Bài 1. (2,0 điểm)

Giải phương trình \({x^2} + \sqrt {2x + 5}  + \sqrt {4 - 2x}  = 4x - 1.\)

Bài 2. (3,0 điểm)

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định như sau:

\({u_1} = \sqrt {2 - \sqrt 2 } \), \({u_{n + 1}} = \sqrt {2 + {u_n}} \) với mọi \(n = 1,2,...\).

Tính \(\lim \left( {{2^n}\sqrt {2 - {u_n}} } \right).\)

Bài 3. (3,0 điểm)

Cho hai đa thức P(x) và \(Q\left( x \right) = aP\left( x \right) + bP'\left( x \right)\) với a, b là các số thực và \(a \ne 0\).
Chứng minh rằng nếu đa thức Q(x) vô nghiệm thì đa thức P(x) cũng vô nghiệm.

Bài 4. (5,0 điểm)

1. Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng \({a^2} + {b^2} + {c^2}\) với a, b, c là các số tự nhiên sao cho \({a^4} + {b^4} + {c^4}\) chia hết cho p.

2. Trên bảng kẻ ô vuông 2 x n ghi các số dương sao cho tổng của hai số trong mỗi cột bằng 1. Chứng minh rằng có thể bỏ đi một số trong mỗi cột để trên mỗi hàng các số còn lại có tổng không vượt quá \(\frac{{n + 1}}{4}\).

Bài 5. (7,0 điểm)

1. Cho tam giác ABC (AC < BC) nội tiếp trong đường tròn tâm O. Phân giác góc C cắt đường tròn (O) tại R. Gọi K, L lần lượt là trung điểm của AC và BC. Đường vuông góc với AC tại K cắt CR tại P, đường vuông góc với BC tại L cắt CR tại Q. Chứng minh rằng diện tích của các hình tam giác RPK và RQL bằng nhau.

2. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc. Gọi R và r lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp; V là thể tích khối chóp và h là đường cao của hình chóp từ đỉnh S. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(\frac{{V\left( {h - r} \right)}}{{{R^2}rh}}\).

--------------- HẾT ---------------

{-- xem tiếp nội dung Đề thi chọn HSG môn Toán 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD & ĐT Bình Định ở phần xem online hoặc tải về --}

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Đề thi chọn HSG môn Toán 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD & ĐT Bình Định. Để xem toàn bộ nội dung và đáp án đề thi các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính. 

Hy vọng đề thi này sẽ giúp các em trong học sinh lớp 12 ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới.