Đáp án đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường Phổ thông năng khiếu năm 2021

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM Trường Phổ Thông Năng Khiếu Hội đồng tuyển sinh lớp 10 ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC: 2020 - 2021 Môn: Toán chuyên Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề Ngày thi: 26/05/2021

 

Câu 1. Cho hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt {x - 2}  + \sqrt {y - 1}  = 2}\\
{x + y = m}
\end{array}} \right.{\rm{ }}\) 

a) Giải hệ khi m=7 

b) Tìm m sao cho hệ đã cho có nghiệm,

Câu 2. Cho \(M = \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\);

\(N = \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\) ;

 \(K = \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b}\)
và a, b, c; a + b; a +c ; b + c ≠ 0.

a) Chứng minh rằng nếu \(MK = \dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab c} \) thì N = 0

b) Cho M = K = 4, N = 1. Tính abc.

Câu 3: Cho n số thực \(x_1, x_2,...,x_n (n\geq 5)\) thoả mãn

\(\left\{\begin{matrix} x_1\leq x_2\leq ...\leq x_n\\ x_1+x_2+...+x_n=1 \end{matrix}\right.\)

a) chứng minh rằng: Nếu \(x_n\geq \frac{1}{3}\) thì \({x_1} + {x_2} \le {x_n}\) 

b) chứng minh rằng: nếu \(x_1\leq\frac{2}{3}\) thì tồn tại \(k \epsilon N^*\), k < n sao cho \(\frac{1}{3} \leq x_1 + x_2+ ...+ x_k \leq \frac{2}{3}\)

Câu 4:

a) Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho \((2n+1)^3 + 1\,\vdots \,2^{2021}\)

b) Cho tất cả số tự nhiên n, số nguyên tố p sao cho 

\(\dfrac{2n+2}{p} \) và \(\dfrac{4n^2+2n+1}{p} \epsilon \mathbb{Z}\)

Chứng minh rằng với n và p tìm được, các số nguyên trên không phải là số chính phân

Câu 5. Cho tam giác ABC vuông góc tại A; E thuộc AB, F thuộc AC sao cho EF song song BC. Dựng đường tròn I đường kính EF cắt BF; CE tại M và N. Gọi D là giao của BF và CE; DH vuông góc EF (H thuộc EF).

a) Chứng minh AD đi qua I và (HMN) qua I

b) Gọi K; L là hình chiếu vuông góc của E; F lên BC. EM và FN cắt BC tại P và Q. Chứng minh rằng AEPL; AFQK nội tiếp và \(\dfrac{BP.BL}{CQ.CK}\) không đổi khi E; F di động.

c) Nếu KF và EL cắt nhau tại một điểm thuộc (I) thì EM; FN cắt nhau tại một điểm thuộc BC.

Bài 6. Cho tập A gồm 26 phần tử. Xét N (N ≥ 6) tập con B1, B2 , ….. , BN phân biệt của tập A, mỗi tập con có đúng 5 phần tử. 

a) Biết rằng hai tập bất kỳ trong các tập Bộ đều có đúng một phần tử chung và không có phần tử nào của tập A xuất hiện trong tất cả các tập Bi, chứng minh rằng không có phần tử nào của tập A xuất hiện đồng thời trong 6 tập Bi nào đó,

b) Biết rằng hai tập bất kỳ trong các tập Bi đều có đúng hai phần tử chung và không có phần tử nào của tập A xuất hiện trong tất cả các tập Bi, hỏi trong các tập B1, B2, ..., BN có thể có nhiều nhất bao nhiêu tập sao cho các tập này có đúng 2 phần tử chung?

ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU NĂM 2021

Câu 1

Câu 2

.........

---(Để xem tiếp đáp án của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Đáp án đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường Phổ thông năng khiếu năm 2021. Để xem toàn bộ tài liệu các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.