Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 - Trường THPT Thống Nhất

TRƯỜNG THPT THỐNG NHẤT

ĐỀ THI HSG LỚP 12 MÔN TOÁN Thời gian: 180 phút

 

Câu 1: (6,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x + y} - \sqrt {x - y} = 2\\ \sqrt {{x^2} + {y^2} + 1} + \sqrt 3 \left( {{x^2} + 1} \right) = 3\sqrt 3 x \end{array} \right.\), với x, y thuộc R

b) Giải phương trình: \(\sqrt {{x^4} + {x^2} + 1} + \sqrt 3 \left( {{x^2} + 1} \right) = 3\sqrt 3 x\), với x, y thuộc R

Câu 2: (5,0 điểm)

a) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, cạnh BC nằm trên đường thẳng có phương trình: 2x + y - 2 = 0. Đường cao kẻ từ B có phương trình: x + y + 1 = 0, điểm M(1;1) thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC.

b) Trong mặt phẳng cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D sao cho bốn điểm đó không cùng nằm trên một đường thẳng.

Chứng minh rằng: \(AC \bot BD \Leftrightarrow A{B^2} + C{D^2} = A{D^2} + B{C^2}\)

Câu 3: (3,0 điểm)

Cho dãy số (u_n) xác định như sau :

\(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = \sqrt 2 \\ {u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + \sqrt 2 - 1}}{{1 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right){u_n}}}\begin{array}{*{20}{c}} {}&{\left( {\forall n \ge 1,n \in N} \right)} \end{array} \end{array} \right.\)

a)  Chứng minh: \(\tan \frac{\pi }{8} = \sqrt 2 - 1\)

b)  Tính: u₂₀₁₅

Câu 4: (3,0 điểm)

Cho ba số dương a, b c thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng:

a) a² +b² +c² \(\ge\) a +b + c

b) \(\frac{1}{{a + b + 1}} + \frac{1}{{b + c + 1}} + \frac{1}{{c + a + 1}} \le 1\)

Câu 5: (3,0 điểm) Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x + y = \frac{3}{2}m(1)\\ \left( {x + 2} \right){y^2} + 2xy = 3m\left( {y + \frac{2}{3}} \right)(2) \end{array} \right.\)

Tìm m để hệ phương trình có nhiều hơn hai nghiệm 

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 1 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu I: (3,0 điểm)

Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị (C) và điểm P(2;5).

Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y =  - x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác PAB đều.

Câu II: (6,0 điểm)

1. Giải phương trình \(\frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{\sqrt[3]{{2x + 1}} - 3}} = \frac{1}{{x + 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {x \in R} \right)\)

2. Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {y^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = 5}\\ {{{\left( {xy - 1} \right)}^2} = {x^2} - {y^2} + 2} \end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {x,y \in R} \right)\)

Câu III: (6,0 điểm)

1. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\). Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

2. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AG và cắt các cạnh A, B, C, D tại các điểm (khác A). Gọi \({h_A},\,\,{h_B},\,\,{h_C},\,\,{h_D}\) lần lượt là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Chứng minh rằng: \(\frac{{h_B^2 + h_C^2 + h_D^2}}{3} \ge h_A^2\).

Câu IV: (2,5 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A(-1;-1) và đường tròn \(\left( T \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\). Gọi B, C là hai điểm phân biệt thuộc đường tròn (T) (B, C khác A). Viết phương trình đường thẳng BC, biết I(1;1) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .

Câu V: (2,5 điểm)

Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: \(P = \frac{2}{{a + \sqrt {ab} + \sqrt[3]{{abc}}}}\,\,\, - \,\,\frac{3}{{\sqrt {a + b + c} }}.\)

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 2 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu I (5,0 điểm).

1. Cho hàm số \(y = {x^4} - m{x^2} + m\), với m là tham số. Tìm các giá trị của để hàm số có ba điểm cực trị.

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = x\sqrt {1 - {x^2}} \) trên đoạn [0;1].

Câu II (5,0 điểm).

1. Giải bất phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 5x + 3} \ge x - 1\,\,\,\,\,\,\,\left( {x \in R} \right)\).

2. Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {y^2} - 4xy = - 3}\\ {x + y - xy = 1} \end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {x,y \in R} \right)\).

Câu III (5,0 điểm).

1. Tìm hệ số của x¹⁵ trong khai triển nhị thức Niutơn của \({\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + {x^5}} \right)^n},\,\,\,x \ne 0\).

Biết \(C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^{n - 1} + C_n^n = 1024\) (với \(n \in {N^*}\), \(C_n^k\) là số các tổ hợp chập k của n)

2. Giải phương trình : \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\sin x + 2c{\rm{osx}}} \right) = \sin 2x - c{\rm{os}}x\).

Câu IV (5,0 điểm).

Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA, đáy là tam giác vuông tại B. Gọi B' là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng SB. Qua điểm B' kẻ đường thẳng song song với đường thẳng BC cắt SC tại C'.

1. Chứng minh rằng: SB vuông góc với mặt phẳng (AB'C').

2. Tính theo a thể tích khối chóp S.A'B'C', biết SA = AB = a và BC = 2a.

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 3 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu I (4,0 điểm). Cho hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{2x + 1}}\) (C).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2. Đường thẳng (d₁) có phương trình y = x cắt (C) tại hai điểm A và B. Đường thẳng (d2) có phương trình y = x + m. Tìm tất cả các giá trị của m để (d₂) cắt (C) tại hai điểm phân biệt C, D sao cho  tứ giác ABCD là hình bình hành.

Câu II (4,0 điểm).

1. Giải phương trình sau: \(1 - \sin x\cos 3x - {\cos ^2}x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x + \sqrt 3 \sin x\sin 3x\)

2. Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l} {2^{2x - y}} - {2^{x + y}} = (x + y)\sqrt {x + y} - (2x - y)\sqrt {2x - y} \\ \sqrt[3]{y} - 2{(x - 1)^3} + 1 = 0 \end{array} \right.(\forall x,y \in R)\)

Câu III (4,0 điểm).

1. Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: \(P = \frac{2}{{a + \sqrt {ab} + \sqrt[3]{{abc}}}}\,\,\, - \,\,\frac{3}{{\sqrt {a + b + c} }}.\)

2. Giải bất phương trình sau: \({x^2} - 6x + 2 \ge 2(2 - x)\sqrt {2x - 1} .\)

Câu IV (4,0 điểm).

1. Cho k là số tự nhiên thỏa mãn \(5 \le k \le 2011.\)

Chứng minh rằng: \(C_5^0.C_{2011}^k + C_5^1.C_{2011}^{k - 1} + ... + C_5^5.C_{2011}^{k - 5} = C_{2016}^k\)

 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = \(a\sqrt 3 \) và SA vuông góc với mặt phẳng đáy.

a) Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a.

b) M và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh BC và DC sao cho \(\widehat {MAN} = {45^0}\). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMN.

Câu V (4,0 điểm).

1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho điểm I(2;4) và các đường thẳng \({d_1}:2x - y - 2 = 0,{d_2}:2x + y - 2 = 0\). Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I sao cho (C) cắt d₁ tại A, B và cắt d₂ tại C, D thỏa mãn \(A{B^2} + C{D^2} + 16 = 5AB.CD.\)

2. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(a;0;0) B(0;b;0) C(0;0;c) và M(1;2;4) thuộc mặt phẳng ABC. Viết phương trình mặt phẳng ABC để cho thể tích của khối OABC nhỏ nhất.

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 4 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu I  (4 điểm)

Cho hàm số: \(y = \frac{{2x - 3}}{{x - 2}}\)(1)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho \(AB = \sqrt 2 IB\), với I(2;2).

Câu II  (4 điểm)

1. Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} - {y^3} - 3{x^2} + 6{y^2} = - 6x + 15y - 10\\ y\sqrt {x + 3} + \left( {y + 6} \right)\sqrt {x + 10} = {y^2} + 4x \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {x,y \in R} \right)\)

2. Giải phương trình: \(\frac{{\sin {\rm{2}}x + 3\tan {\rm{2}}x + \sin 4x}}{{\tan 2x - \sin 2x}} = 2.\)

Câu III  (4 điểm)

1. Giải bất phương trình sau \(\sqrt {{x^2} - 3x + 2} + \sqrt {{x^2} - 4x + 3} \ge 2\sqrt {{x^2} - 5x + 4} \).

2. Cho  là ba số dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(P = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 1} }} - \frac{2}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}\)

Câu IV  (4 điểm)

1.  Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 5 chữ số khác nhau, trong đó luôn có mặt chữ số 6. 

2. Trong mặt phẳng với toạ độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D có AB = AD < CD, điểm B(1;2), đường thẳng BD có phương trình y = 2. Biết rằng đường thẳng (d):7x - y - 25 = 0 lần lượt cắt các đoạn thẳng AD và CD theo thứ tự tại M và N sao cho \(BM \bot BC\) và tia BN là tia phân giác của góc MBC. Tìm toạ độ đỉnh D (với hoành độ của D là số dương).

Câu V (4 điểm)

1. Cho hình chóp có đáy ABCD là hình vuông với AB = 2a. Tam giác SAB vuông tại S, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC) bằng \(\varphi \) với \(\sin \varphi = \frac{1}{3}\). Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) theo a. 

2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm \(A\left( {1;2;1} \right),\,B\left( {1; - 2;4} \right)\) và mặt phẳng (P):2y + z = 0. Tìm toạ độ điểm \({\rm{C}} \in (P)\) sao cho tam giác ABC cân tại B và  có diện tích bằng \(\frac{{25}}{2}\).

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 5 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích dẫn nội dung Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán 12 năm 2021 có đáp án Trường THPT Thống Nhất. Để xem toàn bộ nội dung các em đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tư liệu cùng chuyên mục tại đây:

• Bộ 5 đề thi thử chọn HSG môn Toán lớp 12 - Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu

• Bộ 5 đề thi thử chọn HSG môn Toán lớp 12 - Trường THPT Phan Bội Châu

• Bộ 5 đề thi thử chọn HSG môn Toán lớp 12 - Trường THPT Phan Đình Phùng