Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 - Trường THPT Phan Đình Phùng

TRƯỜNG THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG

ĐỀ THI HSG LỚP 12 MÔN TOÁN Thời gian: 180 phút

 

Câu I (5,0 điểm)

1. Cho hàm số \(y = 2x - 2 - m\sqrt {{x^2} - 4x + 5} \) với m là tham số. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực tiểu.

2. Cho hàm số \(y = {x^4} - m{x^2} + 2m - 2\left( C \right)\) với m là tham số. Gọi A là một điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A cắt đường tròn \(\left( T \right):{x^2} + {y^2} = 4\) tại hai điểm phân biệt tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

Câu II (4,0 điểm)

1. Giải phương trình \({\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)^{{{\sin }^2}x}} + {5^{\cos 2x}} = \left| {x - 1} \right| + \left| {x + 5} \right|.\)

2. Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x + 1} + \left( {x + 1} \right)\sqrt x .}}} .\)

Câu III (5,0 điểm)

1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a và \(\widehat {ABC} = 60^\circ \). Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh SC, SD. Biết SA = SC = SD và mặt phẳng (ABEF) vuông góc với mặt bên (SCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

2. Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh AB = 3, AC =  4, AD = 6 và các góc \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ \), \(\widehat {CAD} = 90^\circ \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.

Câu IV. (2,0 điểm) Cho đa thức \(f\left( x \right) = {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 1\) với a, b, c là các số thực không âm. Biết rằng phương trình f(x) = 0 có 4 nghiệm thực, chứng minh \(f\left( {2018} \right) \ge {2019^4}\).

Câu V. (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} {y^3} - {y^2} - 2y + 1 = \ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right) + \ln \left( {\sqrt {{y^2} + 1} - y} \right)\\ {x^3} - x = {y^2} + y - 1 \end{array} \right.\).

Câu VI. (2,0 điểm) Cho dãy số được xác định như sau: \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 1\\ {u_{n + 1}} = \sqrt {1 + 2{u_n}{u_{n + 1}}} ,\,\forall n \in {N^*} \end{array} \right.\)

a) Tìm số hạng thứ 10 của dãy số đã cho.

b) Chứng minh rằng u₂₀₁₉ là số vô tỷ.

ĐÁP ÁN

Câu I:

1. Xét \(y = 2x - 2 - m\sqrt {{x^2} - 4x + 5} \)

 TXĐ: R

\(y' = 2 - \frac{{m\left( {x - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }},{\mkern 1mu} \forall x \in R\).

+) Hàm số có cực tiểu thì trước hết phương trình y' = 0 có nghiệm.

\(y' = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{2\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }}{{x - 2}}\,(*)\)

Đặt \(g\left( x \right) = \frac{{2\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }}{{x - 2}}\,\,\)

\(g'\left( x \right) = \frac{{\frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }}\left( {x - 2} \right) - 2\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }} < 0,\,\forall x \ne 2\).

BBT:

Từ bảng biến thiên ta có phương trình (*) có nghiệm \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > 2\\ m < - 2 \end{array} \right.\).

+) \(y'' = - m\frac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }}}}{{{x^2} - 4x + 5}} = \frac{{ - m}}{{\left( {{x^2} - 4x + 5} \right)\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }},\forall x \in R\).

Với m > 2 ⇒ y'' < 0: Hàm số không có cực tiểu.

Với m < -2 ⇒ y'' > 0: Hàm số có cực tiểu.

Vậy m < -2 thì hàm số có cực tiểu.

2.

Ta có A(1;m-1).

Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A. Phương trình đường thẳng d là:

\(y = \left( {4 - 2m} \right)\left( {x - 1} \right) + m - 1 \Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right)x - y + 3m - 5 = 0\).

Đường thẳng d luôn đi qua điểm cố định \(I\left( {\frac{3}{2};1} \right)\) nằm trong đường tròn.

Do đó d luôn cắt đường tròn tại hai điểm M, N. Gọi H là trung điểm MN.

Ta có: \(MN = 2MH = 2\sqrt {4 - O{H^2}} \ge 2\sqrt {4 - O{I^2}} = \sqrt 3 \).

\(M{N_{\min }} \Leftrightarrow H \equiv I \Leftrightarrow OI \bot d \Leftrightarrow \frac{{4 - 2m}}{{\frac{3}{2}}} = \frac{{ - 1}}{1} \Leftrightarrow m = \frac{{11}}{4}\)

Vậy với \(m = \frac{{11}}{4}\) thì MN đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\sqrt 3 \).

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 1 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1 (5.0 điểm).

a) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {17 - 3x} \right)\sqrt {5 - x} + \left( {3y - 14} \right)\sqrt {4 - y} = 0\\ 2\sqrt {2x + y + 5} + 3\sqrt {3x + 2y + 11} = {x^2} + 6x + 13 \end{array} \right.,{\rm{ }}\left( {x,y \in R} \right)\).

b) Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P = \frac{{{a^2} + bc}}{{b + c}} + \frac{{{b^2} + ca}}{{c + a}} + \frac{{{c^2} + ab}}{{a + b}} - 4\sqrt[4]{{a + b + c}}\).

Câu 2 (4.0 điểm).

a) Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 3} \right)^{2018}}\left( {{{\rm{e}}^{2x}} - {{\rm{e}}^x} + \frac{1}{3}} \right)\left( {{x^2} - 2x} \right)\). Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(f\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\) có đúng 3 điểm cực trị sao cho \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 50\), trong đó x₁, x₂, x₃ là hoành độ của ba cực trị đó.

b) Cho dãy số (u_n) xác định như sau \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = \frac{1}{2};{u_2} = 3\\ {u_{n + 2}} = \frac{{{u_{n + 1}}{u_n} + 1}}{{{u_{n + 1}} + {u_n}}},\forall n \ge 1 \end{array} \right.\)

Chứng minh rằng dãy (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó

Câu 3 (3.0 điểm).

a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D, có CD = 2AD = 2AB. Gọi M(2;4) là điểm thuộc cạnh AB sao cho AB = 3AM. Điểm N thuộc cạnh BC sao cho tam giác DMN cân tại M. Phương trình đường thẳng MN là 2x + y - 8 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD biết D thuộc đường thẳng d: x + y = 0 và điểm A thuộc đường thẳng d': 3x + y - 8 = 0

b) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a. Biết hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {MD} \). Trên cạnh CD lấy các điểm I, N sao cho \(\widehat {ABM} = \widehat {MBI}\) và MN vuông góc với BI. Biết góc giữa SC và (ABCD) bằng 60°. Tính thể tích khối chóp S.AMCB và khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SBC).

Câu 4 (3.0 điểm). Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình 15^x + y² = 2^x

Câu 5 (3.0 điểm). Tính tổng \(S = \frac{1}{{2019}}{\left( {C_{2019}^1} \right)^2} + \frac{2}{{2018}}{\left( {C_{2019}^2} \right)^2} + ... + \frac{{2018}}{2}{\left( {C_{2019}^{2018}} \right)^2} + \frac{{2019}}{1}{\left( {C_{2019}^{2019}} \right)^2}\).

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 2 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu I (2,0 điểm)

1) Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng d: y =  - x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho \(\Delta PAB\) đều, biết P(2;5). 

2) Một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 25m, chiều rộng AD = 20m được chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn MN (M, N lần lượt là trung điểm BC và AD). Một đội xây dựng làm một con đường đi từ A đến C qua vạch chắn MN, biết khi làm đường trên miền ABMN mỗi giờ làm được 15m và khi làm trong miền CDMN mỗi giờ làm được 30m. Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ A đến C.

Câu II (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} {(3x + 1)^2} + 4\sqrt y = {y^2} + 4\sqrt {3x + 1} \\ 3xy = 4x + 4 + 2\sqrt {x + 3} \end{array} \right..\)

2) Trong cuộc thi: "Thiết kế và trình diễn các trang phục dân tộc" do Đoàn trường THPT  tổ chức vào tháng 3 năm 2018 với thể lệ mỗi lớp tham gia một tiết mục. Kết quả có 12 tiết mục đạt giải trong đó có 4 tiết mục khối 12, có 5 tiết mục khối 11và 3 tiết mục khối 10. Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên 5 tiết mục biểu diễn chào mừng 26 tháng 3. Tính xác suất sao cho khối nào cũng có tiết mục được biểu diễn và trong đó có ít nhất hai tiết mục của khối 12.

Câu III (2,0 điểm)

1) Cho dãy số (u_n) xác định bởi \({u_1} = 1,{u_{n + 1}} = \frac{{\sqrt {1 + u_n^2} - 1}}{{{u_n}}},\forall n \ge 1\). Xét tính đơn điệu và bị chặn của (u_n).

2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD \((AB//CD,AB > CD)\) có AD = DC, D(3;3). Đường thẳng AC có phương trình x - y - 2 = 0, đường thẳng AB đi qua M(-1;-1). Viết phương trình đường thẳng BC.

Câu IV (3,0 điểm)

Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông .

1) Gọi S là tâm của hình vuông A'B'C'D'. SA, BC có trung điểm lần lượt là M và N. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a, biết MN tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60⁰ và AB = a.

2) Khi AA' = AB. Gọi R, S lần lượt nằm trên các đoạn thẳng A'D, CD' sao cho RS vuông góc với mặt phẳng (CS'D') và \(RS = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\). Tính thể tích khối hộp ABCD.ABCD theo a.

3) Cho AA' = AB = a. Gọi G là trung điểm BD', một (P) thay đổi luôn đi qua G cắt các đoạn thẳng AD', CD', D'B' tương ứng tại H, I, K. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = \frac{1}{{D'H.D'I}} + \frac{1}{{D'I.D'K}} + \frac{1}{{D'K.D'H}}\).

Câu V (1,0 điểm)

Cho các số dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{a + \sqrt {ab} + \sqrt[3]{{abc}}}} - \frac{6}{{\sqrt {a + b + c} }}\).

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 3 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1 (2.5 điểm):  

Giải phương trình: \({x^{{\rm{4n}}}} + \sqrt {{x^{2{\rm{n}}}} + 2012} = 2012\,\,\,\,({\rm{n }} \in {\rm{ }}{N^{\rm{*}}}{\rm{)}}\).

Câu 2 (2.5 điểm):

Cho dãy số (u_n) xác định bởi công thức:

\(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 3\\ {u_{n + 1}} = \frac{1}{3}\left( {2{u_n} + \frac{3}{{u_n^2}}} \right);\,\,(n \in {N^*}). \end{array} \right.\)

Tính: lim u_n ? 

Câu 3 (1.5 điểm):

Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \;\frac{{36}}{{9 + {x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}}}\;\)

Câu 4 (2.0 điểm):

Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC, N là chân đường phân giác góc \(\widehat {BAC}\). Đường thẳng vuông góc với NA tại N cắt các đường thẳng AB, AM lần lượt tại P, Q theo thứ tự đó. Đường thẳng vuông góc với AB tại P cắt  AN tại O. Chứng minh OQ vuông BC.

Câu 5 (1.5 điểm):

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: \(\sqrt {x + 2\sqrt 3 } = \sqrt y + \sqrt z \;\)

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 4 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1: ( 5,0 điểm )

a) Giải phương trình sau: \(4\sqrt {{x^2} + x + 1} = 1 + 5x + 4{x^2} - 2{x^3} - {x^4}\) với \(x \in R\).

b) Giải phương trình: \(2{\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin 2x + 1 = 3\left( {\cos x + \sqrt 3 \sin x} \right)\).

Câu 2: ( 5,0 điểm )

a) Cho tam giác ABC vuông cân tại B, cạnh AB = 2. Trong mặt phẳng chứa tam giác ABC lấy điểm M thỏa \(M{A^2} + M{B^2} = M{C^2}\). Tìm quỹ tích của điểm M.

b) Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN hợp với nhau một góc bằng 60^o, BM = 6, CN = 9. Tính độ dài trung tuyến còn lại của tam giác ABC.

Câu 3: ( 4,0 điểm )

Cho dãy số (u_n) xác định bởi \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = \sqrt {3{u_n}^2 + 2} \) với mọi \(n \ge 1\).

a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số (u_n).

b) Tính tổng \(S = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + ... + u_{2011}^2\).

Câu 4: ( 3,0 điểm )

a) Cho a, b, c là ba số thực không âm và thỏa mãn điều kiện \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\).

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(M = {\left( {a + b + c} \right)^3} - \left( {a + b + c} \right) + 6abc\)

Câu 5: ( 3,0 điểm )

Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + \left( {y + 2} \right){x^2} + 2xy = - 2m - 3\\ {x^2} + 3x + y = m \end{array} \right.\) với x, y là các số thực.

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 5 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích dẫn nội dung Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán 12 năm 2021 có đáp án Trường THPT Phan Đình Phùng. Để xem toàn bộ nội dung các em đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tư liệu cùng chuyên mục tại đây:

• Bộ 5 đề thi thử chọn HSG môn Toán lớp 12 - Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu

• Bộ 5 đề thi thử chọn HSG môn Toán lớp 12 - Trường THPT Hà Huy Tập

Chúc các em học tốt!