Bài tập 63 trang 166 SBT Toán 9 Tập 1

Hướng dẫn giải

Sử dụng kiến thức: 

+)  Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Sử dụng định lí Py-ta-go: trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Lời giải chi tiết

Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là tiếp điểm của đường tròn với \(AB\) và \(AC.\)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

\(AE = AF\) 

\( BE = BD\)

\( CD = CF\)

Ta lại có: \(BD = BC - CD\)

\( BE = AB – AE\)

Suy ra: \(BD + BE = AB + BC – (AE + CD )\)

\( = AB + BC – (AF + CF)\)

\(= AB + BC – AC\)

Suy ra: \(BD =\displaystyle {{AB + BC - AC} \over 2}\)

Lại có: \(CD = BC – BD\)

\( CF = AC = AF\)

Suy ra: \(CD + CF \)\(= BC + AC – ( BD + AF)\)

\(= BC + AC – (BE + AE)\)

\(= BC + AC – BA\)

Suy ra: \(CD = \displaystyle {{BC + AC - AB} \over 2}\)

Ta có:  \(BD.CD\)\( =\displaystyle  {{AB + BC - AC} \over 2}.{{BC + AC - AB} \over 2}\)

\(\displaystyle = {{\left[ {BC - (AC - AB)} \right]\left[ {BC + (AC - AB)} \right]} \over 4}\)

\(\displaystyle ={{B{C^2} - {{(AC - AB)}^2}} \over 4}\)

\( = \displaystyle {{B{C^2} - A{C^2} - A{B^2} + 2AB.AC} \over 4}\)  \((1)\)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(ABC,\) ta có:

\( BC^2 = AB^2 + AC^2  \;\;         (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(BD.CD = \displaystyle {{2AB.AC} \over 4} \)\(=  \displaystyle {{AB.AC} \over 2}\)

Mà \({S_{ABC}} = \displaystyle {1 \over 2}AB.AC\)

Vậy \({S_{ABC}} = BD.DC.\

-- Mod Toán 9 HỌC247