Giải Bài 2 trang 60 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Phương pháp giải

Lời giải chi tiết

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} - {u_1} = 15\\{u_4} - {u_2} = 6\end{array} \right.  \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} - {u_1} = 15\\{u_1}.{q^3} - {u_1}.q = 6\end{array} \right.  \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.\left( {{q^4} - 1} \right) = 15\\{u_1}.\left( {{q^3} - q} \right) = 6\end{array} \right. \)\(  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.\left( {{q^2} - 1} \right)\left( {{q^2} + 1} \right) = 15\left( 1 \right)\\{u_1}.q\left( {{q^2} - 1} \right) = 6\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Do \(q = \pm 1\) không là nghiệm của hệ phương trình nên chia vế với vế của (2) cho (1) ta được:

\(\frac{q}{{{q^2} + 1}} = \frac{6}{{15}} \)\(  \Leftrightarrow 15q = 6\left( {{q^2} + 1} \right) \Leftrightarrow 15q = 6{q^2} + 6 \)\(  \Leftrightarrow 6{q^2} - 15q + 6 = 0  \)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = \frac{1}{2}\\q = 2\end{array} \right.\)

Với \(q = \frac{1}{2}\) thế vào (2) ta được: \({u_1}.\frac{1}{2}\left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} - 1} \right) = 6 \Leftrightarrow {u_1} = - 16\).

Với \(q = 2\) thế vào (2) ta được: \({u_1}.2\left( {{2^2} - 1} \right) = 6 \Leftrightarrow {u_1} = 1\).

Vậy có hai cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn:

‒ Cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = 2\).

‒ Cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = - 16\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\).

b)

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_3} + {u_5} = 65\\{u_1} + {u_7} = 325\end{array} \right.  \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_1}.{q^2} + {u_1}.{q^4} = 65\\{u_1} + {u_1}.{q^6} = 325\end{array} \right.  \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 - {q^2} + {q^4}} \right) = 65\left( 1 \right)\\{u_1}\left( {1 + {q^6}} \right) = 325\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

-- Mod Toán 11 HỌC247