Giải Bài 5 trang 60 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Phương pháp giải

Lời giải chi tiết

\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}  \)\( = \frac{{1\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}} \right)}}{{1 - \frac{1}{3}}}  \)\( = \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}}{{\frac{2}{3}}}  \)\( = \frac{3}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right)  \)\( = \frac{3}{2} - \frac{1}{{{{2.3}^{n - 1}}}}\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_n} = 9 + 99 + 999 + ... + \underbrace {99...9}_{n\,\,chu\,\,so\,\,9} \\= \left( {10 - 1} \right) + \left( {100 - 1} \right) + \left( {1000 - 1} \right) +\\ ... + \left( {\underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,so\,\,0} - 1} \right)\\ = \left( {10 + 100 + 1000 + ... + \underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,so\,\,0}} \right) - n\end{array}\)

Tổng \(10 + 100 + 1000 + ... + \underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,so\,\,0}\) là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 10\) và công bội \(q = 10\) nên ta có:

\(10 + 100 + 1000 + ... + \underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,so \,\,0}  \)\( = \frac{{10\left( {1 - {{10}^n}} \right)}}{{1 - 10}} = \frac{{10 - {{10}^{n + 1}}}}{{ - 9}}  \)\( = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 10}}{9}\)

Vậy \({S_n} = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 10}}{9} - n  \)\( = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 10 - 9n}}{9}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247