Giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức Bài 20: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

a) Tính \(y=2^{x}\) khi x lần lượt nhận các giá trị – 1; 0; 1. Với mỗi giá trị của x có bao nhiều giá trị của \(y=2^{x}\) tương ứng?

b) Với những giá trị nào của x, biểu thức \(y=2^{x}\), có nghĩa?

Cho hàm số mũ \(y=2^{x}\)

a) Hoàn thành bảng giá trị sau:

b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (\(x;2^{x}\)) với \(x\in R\) và nối lại ta được đồ thị của hàm số \(y=2^{x}\).

c) Từ đồ thị đã vẽ ở câu b, hãy kết luận về tập giá trị và tính chất biến thiên của hàm số \(y=2^{x}\).

Vẽ đồ thị của hàm số \(y=(\frac{3}{2})^{^{x}}\)

a) Tính \(y=\log_{2}x\) khi x lần lượt nhận các giá trị 1; 2; 4. Với mỗi giá trị của x > 0 có bao nhiêu giá trị của \(y=\log_{2}x\) tương ứng?

b) Với những giá trị nào của x, biểu thức \(y=\log_{2}x\) có nghĩa?

Trong các hàm số sau, những hàm số nào là hàm số lôgarit? Khi đó hãy chỉ ra cơ số.

a)\(y=\log_{\sqrt{3}}x\)

b)\(y=\log_{\sqrt{2^{-2}}}x\)

c)\(y=\log_{x}2 \)

d)\(y=\log_{\frac{1}{x}}5\)

Cho hàm số lôgarit \(y=log_{2}x\)

a) Hoàn thành bảng giá trị sau: 

b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; \(log_{2}x\)) và nối lại ta được đồ thị của hàm số \(y=log_{2}x\).

c) Từ đồ thị đã vẽ ở câu b, hãy kết luận về tập giá trị và tính chất biến thiên của hàm số \(y=log_{2}x\)

Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo công thức tăng trưởng mũ sau:

\(A=Pe^{rt}\)

trong đó P là dân số của năm lấy làm mốc, A là dân số sau thăm, r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm.Biết rằng vào năm 2020, dân số Việt Nam là khoảng 97,34 triệu người và tỉ lệ tăng dân số là 0,91% (theo danso.org). Nếu tỉ lệ tăng dân số này giữ nguyên, hãy ước tính dân số Việt Nam vào năm 2050.

Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) \(y=3^{x}\)

b) \(y=(\frac{1}{3})^{x}\)

Vẽ đồ thị của các hàm số sau : 

a) \(y=\log_{}x\)

b) \(y=\log_{\frac{1}{3}}x\)

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y=\log_{}\left | x+3 \right | \)

b) \(y=\ln_{}(4-x^{2})\)

Giả sử một chất phóng xạ bị phân rã theo cách sao cho khối lượng m(t) của chất còn lại (tính bằng kilôgam) sau t ngày được cho bởi hàm số \(13e^{-0,015t}\)

a) Tìm khối lượng của chất đó tại thời điểm t = 0.

b) Sau 45 ngày khối lượng chất đó còn lại là bao nhiêu?

Trong một nghiên cứu, một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ còn nhớ bao nhiêu phần trăm danh sách đó sau mỗi tháng. Giả sử sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó được tính theo công thức \(M(t)=75-20ln(t+1),0\leq t\leq 12\) (đơn vị: %). Hãy tính khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó sau 6 tháng.

Vẽ đồ thị của các hàm số mũ sau:

a) \(y = {(\sqrt 3 )^x}\);

b) \(y = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x}\).

Vẽ đồ thị của các hàm số lôgarit sau:

a) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 3 }}x\)

b) \(y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{2}{3}}}x\)

Cho hàm số mũ \(f\left( x \right) = {a^x}(a > 0)\). Chứng minh rằng:

a) \(\frac{{f\left( {x + 1} \right)}}{{f\left( x \right)}} = a\);

b) \(f\left( { - x} \right) = \frac{1}{{f\left( x \right)}}\);

c) \(f\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = f\left( {{x_1}} \right) \cdot f\left( {{x_2}} \right)\).

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 1} \right)\);

b) \(y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{1}{2}}}\left| {x - 1} \right|\).

Cho hàm số lôgarit \(f\left( x \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}x\,\,\,\,(0 < a \ne 1)\). Chứng minh rằng:

a) \(f\left( {\frac{1}{x}} \right) = - f\left( x \right)\)

b) \(f\left( {{x^\alpha }} \right) = \alpha f\left( x \right)\)

Ta định nghĩa các hàṃ sin hyperbolic và hàm côsin hyperbolic như sau: \({\rm{sinh}}x = \frac{1}{2}\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right);{\rm{cosh}}x = \frac{1}{2}\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)\). Chứng minh rằng:

a) \({\rm{sinh}}x\) là hàm số lẻ;

b) \({\rm{cosh}}x\) là hàm số chẵn;

c) \({({\rm{cosh}}x)^2} - {({\rm{sinh}}x)^2} = 1\) với mọi \(x\).

Nếu một ô kính ngăn khoảng \(3{\rm{\% }}\) ánh sáng truyền qua nó thì phần trăm ánh sáng \(\rho \) truyền qua \(n\) ô kính liên tiếp được cho gần đúng bởi hàm số sau: \(p\left( n \right) = 100 \cdot {(0,97)^n}\).

a) Có bao nhiêu phần trăm ánh sáng sẽ truyền qua 10 ô kính?

b) Có bao nhiêu phần trăm ánh sáng sẽ truyền qua 25 ô kính? (Kết quả ở câu a và câu b đựơc làm tròn đến hàng đơn vị).

Số tiền ban đầu 120 triệu đồng được gửi tiết kiệm với lãi suất năm không đổi là \(6{\rm{\% }}\). Tính số tiền (cả vốn lẫn lãi) thu được sau 5 năm nếu nó được tính lãi kép:

a) hằng quý;

b) hằng tháng;

c) liên tục.

(Kết quả được tính theo đơn vị triệu đồng và làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Chu ki bán rã của đồng vị phóng xạ Radi 226 là khoảng 1600 năm. Giả sử khối lượng \(m\) (tính bằng gam) còn lại sau \(t\) năm của một lượng Radi 226 được cho bởi công thức: \(m = 25 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{1600}}}}\).

a) Khối lượng ban đầu (khi \(t = 0\)) của lượng Radi 226 đó là bao nhiêu?

b) Sau 2500 năm khối lượng của lượng Radi 226 đó là bao nhiêu?

Trong Vật lí, mức cường độ âm (tính bằng deciben, kí hiệu là dB) được tính bởi công thức \(L = 10{\rm{log}}\frac{I}{{{I_0}}}\), trong đó \(I\) là cường độ âm tính theo W/m² và \({I_0} = {10^{ - 12}}{\rm{\;W}}/{{\rm{m}}^2}\) là cường độ âm chuẩn, tức là cường độ âm thấp nhất mà tai người có thể nghe được.

a) Tính mức cường độ âm của một cuộc trò chuyện bình thường có cường độ âm là \({10^{ - 7}}{\rm{\;W}}/{{\rm{m}}^2}\)?

b) Khi cường độ âm tăng lên 1000 lần thì mức cường độ âm (đại lượng đặc trưng cho độ to nhỏ của âm) thay đổi thế nào?