Giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản

Trong hình bên, khi bàn đạp xe đạp quay, bóng M của đầu trục quay dao động trên mặt đất quanh điểm O theo phương trình s = 17cos5πt với s (cm) là tọa độ của điểm M trên trục Ox và t (giây) là thời gian bàn đạp quay. Làm cách nào để xác định được các thời điểm mà tại đó độ dài bóng OM bằng 10cm?

Xác định và so sánh tập nghiệm của các phương trình sau:

a) x – 1 = 0;

b) x² – 1 = 0;

c) $\sqrt{2x^2-1}=x$.

Chỉ ra lỗi sai trong phép biến đổi phương trình dưới đây:

$x^2=2x\iff \frac{x^2}{x}=2\iff x=2$

a) Có giá trị nào của x để sinx = 1,5 không?

b) Trong Hình 1, những điểm nào trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác x có sinx = 0,5? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.

Giải các phương trình sau:

a) sinx = $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

b) sin(x + 30°) = sin(x + 60°).

Trong Hình 3, những điểm nào trên đường tròn lượng giác biểu diễn diễn góc lượng giác x có cosx = $-\frac{1}{2}$? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.

Giải các phương trình sau:

a) cosx = – 3;

b) cosx = cos15°;

c) $\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{12}\right)=\text{cos}\frac{3\pi }{12}$.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho T là điểm trên trục tang có tọa độ là (1; $\sqrt{3}$) (Hình 5). Những điểm nào trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác x có tanx = $\sqrt{3}$? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.

Giải các phương trình sau:

a) tanx = 0;

b) tan(30° – 3x) = tan75°.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho C là điểm trên trục côtang có tọa độ là (– 1; 1) (Hình 7). Những điểm nào biểu diễn góc lượng giác x có cotx = – 1? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.

Giải các phương trình sau:

a) cotx = 1;

b) cot(3x + 30°) = cot75°.

Sử dụng máy tính cầm tay để giải các phương trình sau:

a) cosx = 0,4;

b) tanx = $\sqrt{3}$.

Quay lại bài toán khởi động, phương trình chuyển động của bóng đầu trục bàn đạp là x = 17cos5πt (cm) với t được đo bằng giây. Xác định các thời điểm t mà tại đó độ dài bóng |x| bằng 10 cm. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Giải các phương trình lượng giác sau:

a) \(sin2x = \frac{1}{2}\)

b) \(sin\left (x-\frac{\pi }{7}  \right ) = sin\frac{2\pi }{7}\)

c) \(sin4x - cos\left ( x+\frac{\pi }{6} \right ) = 0\)

Giải các phương trình lượng giác sau: 

a) \(cos\left (x+\frac{\pi }{3} \right ) =\frac{\sqrt{3}}{2}\)

b) \(cos4x =\frac{5\pi }{12}\)

c) \(cos^{2}x = 1\)

Giải các phương trình lượng giác sau: 

a) \(tanx = tan55^{o}\)

b) \(tan\left ( 2x + \frac{\pi }{4} \right ) = 0\)

Giải các phương trình lượng giác sau:

a) \(cot\left ( \frac{1}{2}x + \frac{\pi }{4} \right ) = -1\)

b) \(cot3x = -\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Tại các giá trị nào của x thì đồ thị hàm số y = cosx và y = sinx giao nhau?

Trong Hình 9, khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm O và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật A gắn ở đầu của lò xo dao động quanh O. Toạ độ s (cm) của A trên trục Ox vào thời điểm t (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức \(s = 10sin\left ( 10t + \frac{\pi }{2} \right )\). Vào các thời điểm nào thì \(s = -5\sqrt{3}\) cm?

Trong Hình 10, ngọn đèn trên hải đăng H cách bờ biển yy' một khoảng HO = 1 km. Đèn xoay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ \(\frac{\pi }{10}\) rad/s và chiếu hai luồng ánh sáng về phía đối diện nhau. Khi đèn xoay, điểm M mà luồng ánh sáng của hải đăng rọi vào bờ biển chuyển dộng dọc theo bờ.

a) Ban đầu luồng sáng trùng với đường thẳng HO. Viết hàm số biểu thị toạ độ \(y_{M}\) của điệm M trên trục Oy theo thời gian t

b) Ngôi nhà N nằm trên bờ biển với toạ độ \(y_{N} = -1\) (km). Xác định các thời điểm t mà đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà

Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $\sin \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2};$

b) cos(2x ‒ 30°) = ‒1;

c) 3sin(‒2x + 17°) = 4;

d) $\cos \left(3x-\frac{7\pi }{12}\right)=\cos \left(-x+\frac{\pi }{4}\right);$

e) $\sqrt{3}\tan \left(x-\frac{\pi }{4}\right)-1=0;$

g) $\cot \left(\frac{x}{3}+\frac{2\pi }{5}\right)=\cot \frac{\pi }{5}.$

Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos(2x + 10°) = sin(50° ‒ x);

b) 8sin³x + 1 = 0;

c) (sinx + 3)(cotx ‒ 1) = 0;

d) tan(x ‒ 30°) ‒ cot50° = 0.

Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=0;$

b) 2cos²x + 5sinx ‒ 4 = 0;

c) $\cos \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)+2{\sin }^{2}x-1=0.$

Tìm tập xác định của hàm số lượng giác $y=\frac{s\text{inx}-2\cos 3x}{s\text{inx}+\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)}?$

Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng (‒π; π).

a) $\sin \left(3x-\frac{\pi }{3}\right)=1;$

b) $2\cos \left(2x-\frac{3\pi }{4}\right)=\sqrt{3};$

c) $\tan \left(x+\frac{\pi }{9}\right)=\tan \frac{4\pi }{9}.$

Tìm hoành độ các giao điểm của đồ thị các hàm số sau:

a) $y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ và $y=\sin \left(\frac{\pi }{4}-x\right);$

b) $y=\cos \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)$ và $y=\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right).$

Tìm hoành độ các giao điểm của đồ thị hàm số $y=\sin 3x-\cos \left(\frac{3\pi }{4}-x\right)$ với trục hoành?

Theo Định luật khúc xạ ánh sáng, khi một tia sáng được chiếu tới mặt phân cách giữa hai môi trường trong suốt không đồng chất thì tỉ số $\frac{\sin i}{\text{sinr}},$ với i là góc tới và r là góc khúc xạ, là một hằng số phụ thuộc vào chiết suất của hai môi trường. Biết rằng khi góc tới là 45° thì góc khúc xạ bằng 30°. Khi góc tới là 60° thì góc khúc xạ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Tìm hoành độ các giao điểm của đồ thị hàm số $y=\sin 3x-\cos \left(\frac{3\pi }{4}-x\right)$ với trục hoành?

Chiều cao h(m) của một cabin trên vòng quay vào thời điểm t giây sau khi bắt đầu chuyển động được cho bởi công thức $h\left(t\right)=30+20\sin \left(\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}\right).$

a) Cabin đạt độ cao tối đa là bao nhiêu?

b) Sau bao nhiêu giây thì cabin đạt độ cao 40 m lần đầu tiên?