Giải bài 3.45 trang 44 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Phương pháp giải

- Tính \(\widehat A = {180^ \circ } - \widehat B - \widehat C.\)

- Áp dụng định lý sin để tính \(a,\,\,b,\,\,R\): \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R.\)

- Diện tích \(\Delta ABC\): \(S = \frac{1}{2}ac.\sin B\)

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\widehat A = {180^ \circ } - \widehat B - \widehat C = {180^ \circ } - {15^ \circ } - {30^ \circ } = {135^ \circ }.\)

Áp dụng định lý sin, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin C}}}\\{\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}}\end{array}\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{{\sin {{135}^ \circ }}} = \frac{2}{{\sin {{30}^ \circ }}}}\\{\frac{b}{{\sin {{15}^ \circ }}} = \frac{2}{{\sin {{30}^ \circ }}}}\end{array}\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{2\sin {{135}^ \circ }}}{{\sin {{30}^ \circ }}} = 2\sqrt 2 }\\{b = \frac{{2\sin {{15}^ \circ }}}{{\sin {{30}^ \circ }}} = \sqrt 6  - \sqrt 2 }\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

b) Diện tích \(\Delta ABC\) là: \(S = \frac{1}{2}ac.\sin B = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 .2.\sin {15^ \circ } = \sqrt 3  - 1\)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) là:

Áp dụng định lý sin, ta có:

\(\frac{c}{{\sin C}} = 2R\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{2}{{\sin {{30}^ \circ }}} = 2R\,\, \Leftrightarrow \,\,R = 2.\)

c) Ta có: \(CD\) là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\)

\( \Rightarrow \) \(\widehat {ACD} = \widehat {BCD} = \frac{1}{2}\widehat {ACB} = {15^ \circ }\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\) và \(IB = IC = \sqrt 2 .\)

Xét \(\Delta BCD\) có \(\widehat {DCB} = \widehat B = {15^ \circ }\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta BCD\) cân tại \(D.\)

Mặt khác \(I\) là trung điểm của \(BC.\)

\( \Rightarrow \) \(DI \bot BC\)

Xét \(\Delta CDI\) vuông tại \(I\) có: \(CD = \frac{{IC}}{{\sin \widehat {DCB}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sin {{15}^ \circ }}} = 2 + 2\sqrt 3 .\)

-- Mod Toán 10 HỌC247