Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

Cầu cảng Sydney là một trong những hình ảnh biểu tượng của thành phố Sydney và nước Australia. Độ cao y(m) của một điểm thuộc vòng cung thành cầu cảng Sydney có thể biểu thị theo độ dài x(m) tính từ chân cầu bên trái dọc theo đường nối với chân cầu bên phải như sau (Hình 10):

\(y =  - 0,00188{\left( {x - 251,5} \right)^2} + 118\)

Hàm số \(y =  - 0,00188{\left( {x - 251,5} \right)^2} + 118\) có gì đặc biệt?

Cho hàm số \(y =  - 0,00188{\left( {x - 251,5} \right)^2} + 118\).

a) Viết công thức xác định hàm số trên về dạng đa thức theo lũy thừa với số mũ giảm dần của x.

b) Bậc của đa thức trên bằng bao nhiêu?

c) Xác định hệ số của \({x^2}\), hệ số của x và hệ số tự do.

Cho hai ví dụ về hàm số bậc hai.

Cho hàm số \(y = {x^2} + 2x - 3\).

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b) Vẽ các điểm \(A\left( { - 3;0} \right),B\left( { - 2; - 3} \right),C\left( { - 1; - 4} \right),\)\(D\left( {0; - 3} \right),E\left( {1;0} \right)\) của đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 2x - 3\) trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

c) Vẽ đường cong đi qua 5 điểm A, B, C, D, E. Đường cong đó là đường parabol và cũng chính là đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 2x - 3\) (Hình 11).

d) Cho biết tọa độ của điểm thấp nhất và phương trình trục đối xứng của parabol đó. Đồ thị hàm số đó quay bề lõm lên trên hay xuống dưới?

Cho hàm số \(y =  - {x^2} + 2x + 3\).

a) Tìm tọa độ 5 điểm thuộc đồ thị hàm số trên có hoành độ lần lượt là \( - 1,0,1,2,3\) rồi vẽ chúng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

b) Vẽ đường cong đi qua 5 điểm trên. Đường cong đó cũng là đường parabol và là đồ thị của hàm số \(y =  - {x^2} + 2x + 3\) (Hình 12).

c) Cho biết tọa độ của điểm cao nhất và phương trình trục đối xứng của parabol đó. Đồ thị hàm số đó quay bề lõm lên trên hay xuống dưới?

Vẽ đồ thị mỗi hàm số bậc hai sau:

a) \(y = {x^2} - 4x - 3\)

b) \(y = {x^2} + 2x + 1\)

c) \(y =  - {x^2} - 2\)

a) Quan sát đồ thị hàm số bậc hai \(y = {x^2} + 2x - 3\) trong Hình 11. Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số và lập bảng biến thiên của hàm số đó.

b) Quan sát đồ thị hàm số bậc hai \(y =  - {x^2} + 2x + 3\) trong Hình 12. Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số và lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Lập bảng biến thiên của mỗi hàm số sau:

a) \(y = {x^2} - 3x + 4\)

b) \(y =  - 2{x^2} + 5\)

Trong bài toán ở phần mở đầu, độ cao y (m) của một điểm thuộc vòng cung thành cầu cảng Sydney đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai? Với những hàm số bậc hai đó, xác định \(a,b,c\) lần lượt là hệ số của \({x^2}\), hệ số của \(x\) và hệ số tự do.

a) \(y =  - 3{x^2}\)

b) \(y = 2x\left( {{x^2} - 6x + 1} \right)\)

c) \(y = 4x\left( {2x - 5} \right)\)

Xác định parabol \(y = a{x^2} + bx + 4\) trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua điểm \(M\left( {1;12} \right)\) và \(N\left( { - 3;4} \right)\)

b) Có đỉnh là \(I\left( { - 3; - 5} \right)\)

Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) \(y = 2{x^2} - 6x + 4\)

b) \(y =  - 3{x^2} - 6x - 3\)

Cho đồ thị hàm số bậc hai ở Hình 15.

a) Xác định trục đối xứng, tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số.

b) Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

c) Tìm công thức xác định hàm số.

Nêu khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của mỗi hàm số sau:

a) \(y = 5{x^2} + 4x - 1\)

b) \(y =  - 2{x^2} + 8x + 6\)

Khi du lịch đến thành phố St. Louis (Mỹ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Arch. Giả sử ta lập một hệ toạ độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc O như Hình 16 (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí có toạ độ (162;0). Biết một điểm M trên cổng có toạ độ là (10;43). Tính chiều cao của cổng (tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất), làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Trong các hàm số sau, hàm số nào không là hàm số bậc hai?

A. \(y =  - {x^2} + 4x + 2\)

B. \(y = x\left( {2{x^2} + 5x - 1} \right)\)

C. \(y =  - 3x\left( {6x - 8} \right)\)

D. \(y = {x^2} + 6x\)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^2} + 8x + 8\). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 4; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 4} \right)\)

B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\)

C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\)

D. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 4} \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 4; + \infty } \right)\)

Xác định \(a,b,c\) lần lượt là hệ số của \({x^2}\), hệ số của \(x\) và hệ số tự do của các hàm số bậc hai sau:

a) \(f\left( x \right) = {x^2} - x - 9\)

b)  \(f\left( x \right) = {x^2} - 7\)

c) \(f\left( x \right) =  - 2{x^2} + 8x\)

Bố bạn Lan gửi 10 triệu đồng vào 1 ngân hàng với lãi suất x%/ tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập với vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Tính số tiền cả vốn và lãi mà bố bạn Lan có được sau khi gửi tiết kiệm 2 tháng?

Xác định parabol \(y = a{x^2} - bx + 1\) trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua hai điểm \(M\left( {1; - 2} \right)\) và \(N\left( { - 2;19} \right)\)

b) Có đỉnh là \(I\left( { - 2;37} \right)\)

c) Có trục đối xứng là \(x =  - 1\) và tung độ của đỉnh bằng 5

Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) \(y = 3{x^2} - 4x + 2\)

b) \(y =  - 2{x^2} - 2x - 1\)

Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị ở Hình 11. Xác định dấu \(a,b,c\)

Nêu khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của mỗi hàm số sau:

a) \(y = 4{x^2} + 6x - 5\)

b) \(y =  - 3{x^2} + 10x - 4\) 

Xác định hàm số bậc 2 biết hệ số tự do \(c = 2\) và bảng biến thiên tương ứng trong mỗi trường hợp sau:

Xác định hàm số bậc hai biết đồ thị tương ứng trong mỗi Hình 12a, 12b:

Trong một công trình, người ta xây dựng một cổng ra vào hình parabol (minh họa ở Hình 13) sao cho khoảng cách giữa hai chân cổng BC là 9 m. Từ một điểm M trên thân cổng người ta đo được khoảng cách tới mặt đất là MK = 1,6 m và khoảng cách từ K tới chân cổng gần nhất là BK = 0,5 m. Tính chiều cao của cổng theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)