OPTADS360
AANETWORK
LAVA
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Toán 10 Kết nối tri thức Bài 9: Tích của một vectơ với một số


Để học tốt bài Tích của một vectơ với một sốHỌC247 xin mời các em học sinh cùng tham khảo bài giảng dưới đây bao gồm các kiến thức được trình bày cụ thể và chi tiết, cùng với các dạng bài tập minh họa giúp các em dễ dàng nắm vững được trọng tâm bài học. 

ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 
 
 

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Tích của một vectơ với một số

Tích của một vectơ \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \) với một số thực k > 0 là một vectơ, ki hiệu là \(k\overrightarrow a \), cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a\) và có độ dài bằng \(k\left| {\overrightarrow a } \right|\).

Tích của một vectơ \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \) với một số thực k <0 là một vectơ, ki hiệu là \(k\overrightarrow a \), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a\) và có độ dài bằng \(-k\left| {\overrightarrow a } \right|\).

Chú ý: Ta quy ước \(k\overrightarrow a  = \overrightarrow 0 \) nếu \(\overrightarrow a  = \overrightarrow 0 \) hoặc k = 0.

Trong hình cho sau, hai trung tuyến AM và BN của tam giác ABC cắt nhau tại G.

Ta có \(\overrightarrow {GA}  =  - 2\overrightarrow {GM} ,\overrightarrow {MN}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \)

Nhận xét: Vectơ \(k\overrightarrow a \) có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\) và cùng hướng với \(\overrightarrow a \) nếu \(k \ge 0\), ngược hướng với \(\overrightarrow a \) nếu \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \) và k < 0.

Ví dụ: Chứng minh rằng hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) (\(\overrightarrow b  \ne \overrightarrow 0 \)) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k để \(\overrightarrow a  = k\overrightarrow b \). 

Giải

Thật vậy, nếu \(\overrightarrow a  = k\overrightarrow b \) thi \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương. Ngược lại, giả sử \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương.

Ta lấy \(k = \frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}\) nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng và lấy \(k = \frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}\) nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng.

Khi đó \(\overrightarrow a  = k\overrightarrow b \).

1.2. Các tính chất của phép nhân vectơ với một số

Với hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b\) và hai số thực k, t, ta luôn có: 

\(\begin{array}{l}
*k\left( {t\overrightarrow a } \right) = \left( {kt} \right)\overrightarrow a \\
*\left( {k + t} \right)\overrightarrow a  = k\overrightarrow a  + t\overrightarrow a \\
*k\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) = k\overrightarrow a  + k\overrightarrow b ;\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) = k\overrightarrow a  - k\overrightarrow b .\\
*1\overrightarrow a  = \overrightarrow a ;\left( { - 1} \right)\overrightarrow a  =  - \overrightarrow a 
\end{array}\)

Nhận xét: 

- Điểm I là trung của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \)

- Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

Chú ý: Cho hai vectơ không cùng phương \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) (Hình bên dưới). Khi đó, mọi vectơ \(\overrightarrow u \) đều biểu thị (phân tích) được một cách duy nhất theo hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) nghĩa là có duy nhất cặp số (x;y) sao cho \(\overrightarrow u  = x\overrightarrow a  + y\overrightarrow b \). 

Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I. Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta có \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = 2\overrightarrow {OI} \)

Giải

Vì I là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \) 

Do đó \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {IA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {IB} } \right) = 2\overrightarrow {OI}  + \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) = 2\overrightarrow {OI} \) 

ADMICRO

Bài tập minh họa

Câu 1: Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu thị các số \(0;\;1;\;\sqrt 2 ;\; - \sqrt 2 \). Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vecto \(\overrightarrow {OM} ,\;\overrightarrow {ON} \) với vecto \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {OA} \). Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vecto \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} \).

Hướng dẫn giải

Dễ thấy:

Vecto \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} \)có cùng giá nên chúng cùng phương.

Mà vecto \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} \)cùng nằm trên tia OM nên chúng cùng chiều

Vậy vecto \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} \)cùng hướng.

Ngoài ra, \(\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = OM = \sqrt 2 \) và \(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = OA = 1\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt 2 .\left| {\overrightarrow {OA} } \right|\)

Ta kết luận \(\overrightarrow {OM}  = \sqrt 2 .\overrightarrow {OA} \).

Câu 2: Hãy chỉ ra hai vecto \(3\left( {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right)\) và \(3\overrightarrow u  + 3\overrightarrow v \). Từ đó, nêu mối quan hệ giữa \(3\left( {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right)\) và \(3\overrightarrow u  + 3\overrightarrow v \)

Hướng dẫn giải

Kí hiệu O, E, F là các điểm như trên hình vẽ.

Dễ thấy: tứ giác OEMF là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OE}  + \overrightarrow {OF}  = \overrightarrow {OM} \) hay \(\overrightarrow v  + \overrightarrow u  = \overrightarrow {OM} \)

Và \(\overrightarrow {OC}  = 3.\overrightarrow {OM}  \Rightarrow 3\left( {\overrightarrow v  + \overrightarrow u } \right) = 3.\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OC} \)

Mặt khác: \(\overrightarrow {OA}  = 3.\overrightarrow {OF}  = 3\;\overrightarrow u ;\;\overrightarrow {OB}  = 3.\overrightarrow {OE}  = 3\;\overrightarrow v \)

Và \(\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OC} \) hay \(3\;\overrightarrow v  + 3\;\overrightarrow u  = \overrightarrow {OC} \)

\( \Rightarrow 3\left( {\overrightarrow v  + \overrightarrow u } \right) = 3\;\overrightarrow v  + 3\;\overrightarrow u \)

ADMICRO

Luyện tập Bài 9 Toán 10 KNTT

Qua bài giảng trên sẽ giúp các em nắm được các nội dung như sau:

 - Nêu được định nghĩa và tính chất của tích vectơ với một số.

 - Nêu được tính chất trung điểm của đoạn thẳng và tính chất trọng tâm của tam giác.

 - Xác định được vectơ khi cho trước số thực k và vectơ .

 - Vận dụng được tính chất trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác để giải bài toán đơn giản.

3.1. Bài tập trắc nghiệm Bài 9 Toán 10 KNTT

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Chương 4 Bài 9 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2. Bài tập SGK Bài 9 Toán 10 KNTT

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 4 Bài 9 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động 1 trang 55 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Câu hỏi trang 55 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 2 trang 56 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Câu hỏi trang 56 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 1 trang 56 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 3 trang 57 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 4 trang 57 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 2 trang 57 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 3 trang 57 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.11 trang 50 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.12 trang 50 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.13 trang 50 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.14 trang 50 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.15 trang 59 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.13 trang 54 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.14 trang 54 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.15 trang 54 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.16 trang 54 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.17 trang 54 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.18 trang 54 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.19 trang 54 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.20 trang 55 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.21 trang 55 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hỏi đáp Bài 9 Toán 10 KNTT

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!

-- Mod Toán Học 10 HỌC247

NONE
OFF