Trong thí nghiệm giao thoa ánh sáng với hai khe Y-âng, nguồn sáng phát ra đồng thời 2 bức xạ có các bước sóng lần lượt là \({{\lambda }_{1}}=0,45\text{ }\!\!\mu\!\!\text{ m}\) và \({{\lambda }_{2}}=0,6\text{ }\!\!\mu\!\!\text{ m}\).Hai điểm M và N trên trường giao thoa nằm cùng một phía so với vân trung tâm. Điểm M trùng với vân sáng bậc 11 của bức xạ \({{\lambda }_{1}}\), điểm N nằm trùng với vân sáng bậc 13 của bức xạ \({{\lambda }_{2}}\). Hỏi số vân sáng quan sát được trong đoạn MN?

Tại điểm P nằm trên đoạn MN, có vân sáng của bức xạ \({{\lambda }_{1}}\) có bậc \({{k}_{1}}\) thỏa mãn:

\(-OM\le {{k}_{1}}{{i}_{1}}\le ON\Leftrightarrow -11{{i}_{1}}\le {{k}_{1}}{{i}_{1}}\le 13{{i}_{2}}\Leftrightarrow -11\le {{k}_{1}}\le 13\frac{{{i}_{2}}}{{{i}_{1}}}=13\frac{{{\lambda }_{2}}}{{{\lambda }_{1}}}=13\frac{0,6}{0,45}=17,33\)

                                                               \(\Rightarrow {{k}_{1}}=-11;-10;...;0;1;...;17\)

Số vân sáng do bức xạ \({{\lambda }_{1}}\) phát ra là: \(N_{1}^{S}=17-\left( -11 \right)+1=29\) (vân sáng).

Tại điểm P nằm trên đoạn MN, có vân sáng của bức xạ \({{\lambda }_{2}}\) có bậc \({{k}_{2}}\) thỏa mãn:

\(-OM\le {{k}_{2}}{{i}_{2}}\le ON\Leftrightarrow -11{{i}_{1}}\le {{k}_{2}}{{i}_{2}}\le 13{{i}_{2}}\)

\(\Leftrightarrow -11\frac{{{i}_{1}}}{{{i}_{2}}}=-11\frac{{{\lambda }_{2}}}{{{\lambda }_{1}}}=-11\frac{0,45}{0,6}=4-8,25\le {{k}_{2}}\le 13\Rightarrow {{k}_{2}}=-8;-7;...0;1;...;13\).

Số vân sáng do bức xạ \({{\lambda }_{2}}\) phát ra là: \(N_{2}^{S}=13-\left( -8 \right)+1=22\) (vân sáng).

Bây giờ ta sẽ tìm số vân trùng nhau. Ta có:

\({{x}_{{{S}_{1}}}}={{x}_{{{S}_{2}}}}\Leftrightarrow \frac{{{k}_{1}}}{{{k}_{2}}}=\frac{{{\lambda }_{2}}}{{{\lambda }_{1}}}=\frac{0,6}{0,45}=\frac{4}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{align}

  & {{k}_{1}}=4m \\

 & {{k}_{2}}=3n \\

\end{align} \right.\Rightarrow {{x}_{\equiv }}=4n.{{i}_{1}}=3n.{{i}_{2}}\)

Từ đó ta có: \(-11{{i}_{1}}\le 4n.{{i}_{1}}\le 13{{i}_{2}}\Leftrightarrow -\frac{11}{4}\le n\le \frac{13}{4}.\frac{{{i}_{2}}}{{{i}_{1}}}=\frac{13}{4}.\frac{{{\lambda }_{2}}}{{{\lambda }_{1}}}=\frac{13}{4}.\frac{0,6}{0,45}=64,33\)

\(\Rightarrow -2,75\le n\le 4,33\Rightarrow n=-2;-1;...;3;4\).

Có 7 giá trị nguyên của n nên có 7 vân sáng trùng nhau trên đoạn MN thỏa mãn.

Vậy số vân sáng quan sát được trên đoạn MN là: \(N=29+22-7=44\)(vân sáng).