Cho đoạn mạch AB như hình vẽ. Biết R = 80Ω, r = 20 Ω. Đặt vào hai đầu mạch một điện áp xoay chiều \(u\, = \,U\sqrt 2 \cos 100\pi t{\rm{ }}(V).\)

Cách giải 1: Dùng phương pháp đại số 

Từ đồ thị ta có:

\(\begin{array}{l} {\overrightarrow U _{AN}} \bot {\overrightarrow U _{MB}}\\ \Leftrightarrow \tan {\varphi _{AN}}\tan {\varphi _{MB}} = - 1\\ \Leftrightarrow \frac{{{U_L}}}{{{U_R} + {U_r}}}.\frac{{{U_C} - {U_L}}}{{{U_r}}} = - 1\,\,\,(1)\\ R = 4r \Rightarrow {U_R} = 4{U_r}\\ (1) \Leftrightarrow {\left( {{U_L} - {U_C}} \right)^2} = \frac{{25U_r^4}}{{U_L^2}}\,\,\,(2) \end{array}\)

Mặt khác:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} U_{AN}^2 = {\left( {{U_R} + {U_r}} \right)^2} + U_L^2\\ U_{MB}^2 = U_r^2 + {\left( {{U_L} - {U_C}} \right)^2} \end{array} \right.\\ (1),{\rm{ }}(2) \to \left\{ \begin{array}{l} {\left( {150\sqrt 2 } \right)^2} = 25U_r^2 + U_L^2\\ {\left( {30\sqrt 6 } \right)^2} = U_r^2 + \frac{{25U_r^4}}{{U_L^2}} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {U_r} = 15\sqrt 6 V\\ {U_L} = 75\sqrt 2 V \end{array} \right.\\ Suy\,ra\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l} {U_R} = 60\sqrt 6 V\\ {U_C} = 120\sqrt 2 V \end{array} \right.\\ \Rightarrow \cos \varphi = \frac{{{U_R} + {U_r}}}{{\sqrt {{{\left( {{U_R} + {U_r}} \right)}^2} + {{\left( {{U_L} - {U_C}} \right)}^2}} }}\\ \Rightarrow \cos \varphi = \frac{{5\sqrt 7 }}{{14}} = 0,945. \end{array}\)

Chọn D

Cách giải 2: Dùng giản đồ véctơ kép 

Từ đồ thị ta có:  \({\overrightarrow U _{AN}} \bot {\overrightarrow U _{MB}}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l} R = 4r\\ ME = r = x \to R = AM = 4x \end{array}\)

Do \(\Delta NEA\)  đồng dạng với  \(\Delta MEB\), nên:

\(\begin{array}{l} \frac{{NE}}{{NA}} = \frac{{ME}}{{MB}}\\ \Leftrightarrow \frac{{NE}}{{150\sqrt 2 }} = \frac{x}{{30\sqrt 6 }}\\ \Rightarrow NE = \frac{5}{{\sqrt 3 }}x \end{array}\)

Mặt khác:

\(\tan \alpha = \frac{{NE}}{{AM}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi }{6}\)

Từ tam giác vuông AEN ta có:

\(\begin{array}{l} {\left( {150\sqrt 2 } \right)^2} = {\left( {5x} \right)^2} + {\left( {\frac{5}{{\sqrt 3 }}x} \right)^2}\\ \Rightarrow x = 15\sqrt {6.} \\ \tan \alpha = \frac{{EB}}{{AE}} = \frac{{MB\cos \alpha }}{{5x}}\\ = \frac{{30\sqrt 6 \cos \frac{\pi }{6}}}{{5.15\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{5}\\ \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{5\sqrt 7 }}{{14}} = 0,945. \end{array}\)

Chọn D

 Cách giải 3: Dùng giản đồ véctơ buộc 

Từ đồ thị ta có:  \({\overrightarrow U _{AN}} \bot {\overrightarrow U _{MB}}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {U_r} + {U_R} = 150\sqrt 2 \cos \alpha \\ {U_r} = 30\sqrt 6 \sin \alpha \end{array} \right.\\ \frac{r}{R} = \frac{{{U_r}}}{{{U_R}}} = \frac{1}{4} \to \tan \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\ \Rightarrow \alpha = \frac{\pi }{6}\,\,\,\,\,\,(1)\\ \left\{ \begin{array}{l} {U_{LC}} = 30\sqrt 6 \cos \alpha \\ {U_{R + r}} = 150\sqrt 2 \cos \alpha \end{array} \right.\\ (1) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {U_{LC}} = 45\sqrt 2 \\ {U_{R + r}} = 75\sqrt 6 \end{array} \right.\\ U = \sqrt {U_{R + r}^2 + U_{LC}^2} \to U = 30\sqrt {42} V. \end{array}\)

Hệ số công suất của đoạn mạch:

\(\cos \alpha = \frac{{{U_{R + r}}}}{U} = \frac{{75\sqrt 6 }}{{30\sqrt {42} }} = \frac{{5\sqrt 7 }}{{14}} = 0,945.\)

Chọn D