Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = mx - 2m tại ba điểm phân biệt

a)

- Tập xác định: R

- Sự biến thiên: \(y'=3x^{2}-6x;\; \; y'=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=0\\x=2 \end{matrix}\)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\); hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 ⇒ y_CĐ = 4

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2 ⇒ y_CT = 0.

\(\lim _{x\rightarrow -\infty}y=-\infty;\lim _{x\rightarrow +\infty}y=+\infty;\)

Đồ thị hàm số không có tiệm cận.

Bảng biến thiên:

- Đồ thị: Đồ thị cắt Oy tại điểm (0; 4), cắt Ox tại điểm (2; 0), (1; 0); đi qua điểm (3; 4).

b) Gọi \(M(x_{0};y_{0})\) là tiếp điểm, \(x_{0}=1\Rightarrow y_{0}=2\)

\(y'=3x^{2}-6x,\) suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là y'(1) = -3

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -3x + 5

c) Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^{3}-3x^{2}+4=mx-2m\)

\(\Leftrightarrow (x-2)(x^{2}-x-2-m)=0\)

\(\Leftrightarrow \big \lbrack\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x=2\\x^{2}-x-2-m=0(*) \end{matrix}\)

để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = mx - 2m tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2

hay \(\left\{\begin{matrix} \Delta =9+4m>0\\2^{2}-2-2-m\neq 0 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>-\frac{9}{4}\\m\neq 0 \end{matrix}\right.\)

Vậy với \(m\in (-\frac{9}{4};+\infty) \setminus \left \{ 0 \right \}\)