Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: \(\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{x^2+5}=2\sqrt{2y}+x^2

\(\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{x^2+5}=2\sqrt{2y}+x^2 \ \ \ \ \ (1)\\ x+3\sqrt{xy+x-y^2-y}=5y+4\ \ \ (2) \end{matrix}\right.\)
Điều kiện \(xy+x-y^2-y\geq 0\) và \(y\geq 0\)
- Với điều kiện trên:
\((2)\Leftrightarrow (x-2y-1)+3(\sqrt{xy+x-y^2-y}-y-1)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-2y-1)+\left [ 1+\frac{3(y+1)}{\sqrt{xy+x-y^2-y}-y-1} \right ]=0\)
\(\Leftrightarrow x-2y-1=0\). (Vì với x, y thỏa mãn \(xy+x-y^2\geq 0\) và \(y\geq 0\) thì \(\left [ 1+\frac{3(y+1)}{\sqrt{xy+x-y^2-y}-y-1} \right ]> 0\))
Thế 2y = x – 1 vào (1) ta có
\(2\sqrt{x^2+5}=2\sqrt{x-1}+x^2\Leftrightarrow 2\frac{x^2-4}{\sqrt{x^2+5}+3}+(x-2)(x+2)\)
\(\Leftrightarrow (x-2)\left [ -\frac{2(x+2)}{\sqrt{x^2+5}+3}+\frac{2}{\sqrt{x-1}+1}+(x+2) \right ]=0 \ \ (3)\)
Ta có \(\forall x\geq 1\)
\(-\frac{2(x+2)}{\sqrt{x^2+5}+3}+\frac{2}{\sqrt{x-1}+1}+(x+2)\)
\(=\frac{2}{\sqrt{x-1}+1}+(x+2)(1-\frac{2}{\sqrt{x^2+5}+3})> 0\)
Nên (3) có nghiệm duy nhất x = 2 . Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \((x;y)=\left ( 2;\frac{1}{2} \right )\)