Giải hệ phương trình sau: \(\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{3}-y^{2}+2\sqrt[3]{x^{4}}+\sqrt[3]{x^{2}}=2y\sqrt{y-1}(x+\sqrt[3]{x})

\(\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{3}-y^{2}+2\sqrt[3]{x^{4}}+\sqrt[3]{x^{2}}=2y\sqrt{y-1}(x+\sqrt[3]{x})\; \; \; (1)\\x^{4}+\sqrt{x^{3}-x^{2}+1}=x.(y-1)^{3}+1\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (2) \end{matrix}\right.\)

Điều kiện: \(\left\{\begin{matrix} y\geq 1\\x^{3}-x^{2}+1\geq 0 \end{matrix}\right.\)

Từ (1) ta có:

\(x^{2}+y^{3}-y^{2}+2\sqrt[3]{x^{4}}+\sqrt[3]{x^{2}}=2y\sqrt{y-1}(x+\sqrt[3]{x})\)

\(\Leftrightarrow (x+\sqrt[3]{x})^{2}-2y\sqrt{y-1}(x+\sqrt[3]{x})+y^{2}(y-1)=0\)

\(\Leftrightarrow \left [ (x+\sqrt[3]{x})-y\sqrt{y-1} \right ]^{2}=0\Leftrightarrow x+\sqrt[3]{x}=y\sqrt{y-1}\)

Đặt \(a=\sqrt[3]{x},b=\sqrt{y-1}\) ta có \(a^{3}+a=b^{3}+b.\) Do b không âm nên a cũng phải không âm. Hàm số \(f(t)=t^{3}+t\) đồng biến trên \([0;+\infty )\) nên ta có a = b hay ta có \(x\geq 0,\sqrt{y-1}=\sqrt[3]{x}\)

Thay vào (2) ta có phương trình:

\(x^{4}+\sqrt{x^{3}-x^{2}+1}=x^{3}+1\Leftrightarrow x^{3}(x-1)=1-\sqrt{x^{3}-x^{2}+1}\Leftrightarrow x^{3}(x-1)=\frac{x^{2}-x^{3}}{1+\sqrt{x^{3}-x^{2}+1}}\Leftrightarrow x^{2}(x-1)(x+\frac{1}{1+\sqrt{x^{3}-x^{2}+1}})=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=0\\x=1 \\(x+\frac{1}{1+\sqrt{x^{3}-x^{2}+1}})=0\; (vn \; do\; x\geq 0) \end{matrix}\)

x = 0 ta có y = 1, x = 1 ta có y = 2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ có hai nghiệm (0;1) và (1;2)