Giải bất phương trình: \((\sqrt{x+4}-1)\sqrt{x+2}\geq \frac{x^3+4x^2+3x-2(x+3)\sqrt[3]{2x+3}}{\sqrt{x+4}+1}\)

ĐK: \(x\geq -2,x\neq 12\)
\((1)\Leftrightarrow \sqrt{x+2}+2\geq \frac{(x+3)(x-2)}{\sqrt[3]{2x+3}-3}\)
\(\Leftrightarrow 1\geq \frac{(x+3)(\sqrt{x+2}-2)}{\sqrt[3]{2x+3}-3} \ (2)\)
TH1: \(x>12\)
\((2)\Leftrightarrow (\sqrt[3]{2x+3})^3+\sqrt[3]{2x+3}\geq (\sqrt{x+2})^3+\sqrt{x+2} \ (3)\)
Hàm số \(f(t)=t^3+t\) đồng biến trên R nên: \((3)\Leftrightarrow \sqrt[3]{2x+3}\geq \sqrt{x+2}\Leftrightarrow (2x+3)^2\geq (x+2)^3\)
\(\Leftrightarrow x^3+2x^2-1\leq 0\) vô nghiệm vì \(x>12\)
TH2: \(-2\leq x< 12\)
\((2)\Leftrightarrow (\sqrt[3]{2x+3})^3+\sqrt[3]{2x+3}\leq (\sqrt{x+2})^2+\sqrt{x+2}\)   (4)
Hàm số \(f(t)=t^3+t\) đồng biến trên R nên: 
\((4)\Leftrightarrow \sqrt[3]{2x+3}\leq \sqrt{x+2}\Leftrightarrow (2x+3)^2\leq (x+2)^3\)
\(\Leftrightarrow x^3+2x^2-1\geq 0\Leftrightarrow (x+1)(x^2+x-1)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow x\in \left [ \frac{-1-\sqrt{5}}{2};-1 \right ]\cup \left [ \frac{1+\sqrt{5}}{2};+\infty \right ]\)
Đối chiếu điều kiện \(-2\leq x\leq 12\) ta có tập nghiệm của bất phương trình là: 
\(S= \left [ \frac{-1-\sqrt{5}}{2};-1 \right ]\cup \left [ \frac{1+\sqrt{5}}{2}; 12 \right ]\)