OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Cho

Cho \(M=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)

Chứng minh rằng:

a. Nếu a, b, c là cạnh của tam giác thì M>1

b. Nếu M = 1 thì 2 trong 3 phân thức của M = 1 và 1 phân thức còn lại = -1

  bởi Aser Aser 25/08/2018
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • a, Ta có : M-1= \(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}-1+\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}+1\)=\(\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}+\frac{\left(b-c\right)^2-a^2}{2bc}+\frac{\left(a+c\right)^2-b^2}{2ac}\)

    =\(\frac{\left(a-b-c\right)\left(a-b+c\right)}{2ab}+\frac{\left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)}{2bc}+\frac{\left(a+c-b\right)\left(a+b+c\right)}{2ac}\)

    =\(\frac{\left(a-b-c\right)\left(a-b+c\right)c+\left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)a+\left(a+c-b\right)\left(a+c+b\right)b}{2abc}\)

    =\(\frac{\left(ac-bc-c^2\right)\left(a-b+c\right)-\left(a+c-b\right)\left(ba-ca+a^2\right)+\left(a+c-b\right)\left(ab+bc+b^2\right)}{^{ }2abc}\)

    =\(\frac{\left(a+c-b\right)\left(ac-bc-c^2-ba+ca-a^2+ab+bc+b^2\right)}{^{ }2abc}\)

    =\(\frac{\left(a+c-b\right)\left[b^2-\left(a-c\right)^2\right]}{2abc}=\frac{\left(a+c-b\right)\left(b-a+c\right)\left(b+a-c\right)}{2abc}\) (*)

    a, vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên a,b,c>0 và a+b-c>,a+c-b>0,

    b+c-a>0 \(\Rightarrow\) (*) >0 nên M-1>0 \(\Rightarrow\)M>0

    b,Với M=1, ta có M-1 = (*)=0 \(\Rightarrow\)(a+c-b)(b-a+c)(b+a-c)=0

    \(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}a+b=c\\a+c=b\\b+c=a\end{matrix}\right\)

    TH1 : a+b=c\(\Rightarrow\) \(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-1=\frac{\left(a-b\right)^2-\left(a+b\right)^2}{2ab}=\frac{-4ab}{2ab}=-2\)\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=-1\)

    mặt khác a+b=c thì a-c=b \(\Rightarrow\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}+1=\frac{\left(a+c\right)^2-\left(a-c\right)^2}{2ac}=\frac{4ac}{2ac}=2\)

    \(\Rightarrow\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=1\)\(\Rightarrow\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=1\)(đpcm)

    TH2 và TH3 tương tự như trường hợp 1 ta chứng minh được bài toán

      bởi phạm thị hạnh 21/06/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 8