Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \((u_n)\), biết: \({u_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \)

Ta có:

\({u_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n  \) \( = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1}  - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \)\(= {{n + 1 - n} \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \) \(= {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}\)

Xét hiệu:

\(\eqalign{
& {u_{n + 1}} - {u_n} \cr&= {1 \over {\sqrt {(n + 1) + 1} + \sqrt {n + 1} }} - {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr 
& = {1 \over {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} - {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr} \) 

Ta có:

\(\left\{ \matrix{
\sqrt {n + 2} > \sqrt {n + 1} \hfill \cr 
\sqrt {n + 1} > \sqrt n \hfill \cr} \right. \)

\(\Rightarrow \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} > \sqrt {n + 1} + \sqrt n \)

\( \Rightarrow {1 \over {\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }} < {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \)

\(\Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0\)

⇒ un là dãy số giảm.

Mặt khác: \({u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} > 0,\forall n \in N^*\) \(\Rightarrow\) un là dãy số bị chặn dưới.

Ta lại có: với n ≥ 1 thì \(\sqrt {n + 1}  + \sqrt n  \ge \sqrt 2  + 1\)

\(\Rightarrow {u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \le {1 \over {\sqrt 2  + 1}}\)

Suy ra: \(u_n\) là dãy số bị chặn trên.

Vậy \(u_n\) là dãy số giảm và bị chặn.