Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau đay là \(f\left( x \right) = x + {\cos ^2}x\) trên đoạn \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\).

Giả sử \({x_1},\,\,{x_2} \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right];\,\,{x_1} < {x_2}\).

Xét

\(\begin{array}{l}f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \left( {{x_2} - {x_1}} \right) + {\cos ^2}\left( {{x_2}} \right) - {\cos ^2}\left( {{x_1}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{x_2} - {x_1}} \right) + \left( {\cos {x_2} + \cos {x_1}} \right)\left( {\cos {x_2} - \cos {x_1}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{x_2} - {x_1}} \right) - 4\cos \dfrac{{{x_2} + {x_1}}}{2}\cos \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{2}.sin\dfrac{{{x_2} + {x_1}}}{2}.\sin \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{x_2} - {x_1}} \right) - \left( {2sin\dfrac{{{x_2} + {x_1}}}{2}\cos \dfrac{{{x_2} + {x_1}}}{2}} \right)\left( {2\sin \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{2}\cos \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{x_2} - {x_1}} \right) - \sin \left( {{x_2} + {x_1}} \right)\sin \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge \left( {{x_2} - {x_1}} \right) - \sin \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\end{array}\)

Vì \(0 < {x_2} - {x_1} \le \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow x > \sin x\), do đó \(\left( {{x_2} - {x_1}} \right) - \sin \left( {{x_2} - {x_1}} \right) > 0\,\,\forall x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\).

Suy ra hàm số \(f\left( x \right) = x + {\cos ^2}x\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\).

\( \Rightarrow f\left( 0 \right) = 1 \le f\left( x \right) \le f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{1}{2}\,\,\forall x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\).

Vậy GTLN của hàm số bằng \(\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{1}{2}\), đạt được tại \(x = \dfrac{\pi }{4}\) và GTNN của hàm số bằng 1, đạt được tại \(x = 0\).