Giải phương trình lượng giác cho sau: \(3{\sin ^2}{x \over 2}\cos \left( {{{3\pi } \over 2} + {x \over 2}} \right) + 3{\sin ^2}{x \over 2}\cos {x \over 2} \) \(= \sin {x \over 2}{\cos ^2}{x \over 2} + {\sin ^2}\left( {{x \over 2} + {\pi \over 2}} \right)\cos {x \over 2}\)

Ta có:

\(\cos \left( {{{3\pi } \over 2} + {x \over 2}} \right) = \sin {x \over 2}\)

\(\sin \left( {{\pi  \over 2} + {x \over 2}} \right) = \cos {x \over 2}\)

Phương trình đã cho trở thành:

\(3{\sin ^3}{x \over 2} + 3{\sin ^2}{x \over 2}\cos {x \over 2}\)\( - \sin {x \over 2}{\cos ^2}{x \over 2} - {\cos ^3}{x \over 2} = 0(*)\)

Với điều kiện \(\cos {x \over 2} \ne 0\) , chia hai vế của (*) cho \({\cos ^3}{x \over 2}\) thì được phương trình

\(3{\tan ^3}{x \over 2} + 3{\tan ^2}{x \over 2} - \tan {x \over 2} - 1 = 0\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {3{{\tan }^3}\frac{x}{2} - \tan \frac{x}{2}} \right) + \left( {3{{\tan }^2}\frac{x}{2} - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \tan \frac{x}{2}\left( {3{{\tan }^2}\frac{x}{2} - 1} \right) + \left( {3{{\tan }^2}\frac{x}{2} - 1} \right) = 0
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \) \(\left( {\tan {x \over 2} + 1} \right)\left( {3{{\tan }^2}{x \over 2} - 1} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan \frac{x}{2} + 1 = 0\\
3{\tan ^2}\frac{x}{2} - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan \frac{x}{2} = - 1\\
\tan \frac{x}{2} = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{x}{2} = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\
\frac{x}{2} = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x =  - {\pi  \over 2} + 2k\pi \) và \(x =  \pm {\pi  \over 3} + 2k\pi \).