Chứng minh rằng phương trình sau \(2{x^3} - 5x + 1 = 0\) có đúng 3 nghiệm.

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 5x + 1\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Ta có \(f\left( { - 2} \right) =  - 5\), \(f\left( 0 \right) = 1\), \(f\left( 1 \right) =  - 2\), \(f\left( 2 \right) = 7\).

\(f\left( { - 2} \right).f\left( 0 \right) =  - 5 < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left( { - 2;0} \right)\).

Tương tự:

\(f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) =  - 2 < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left( {0;1} \right)\).

\(f\left( 1 \right).f\left( { - 2} \right) =  - 14 < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left( {1;2} \right)\).

Do các khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\), \(\left( {0;1} \right)\), \(\left( {1;2} \right)\) rời nhau nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 3 nghiệm phân biệt.

Mà \(2{x^3} - 5x + 1 = 0\) là phương trình bậc ba chỉ có tốt đa 3 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình \(2{x^3} - 5x + 1 = 0\) có đúng 3 nghiệm phân biệt (đpcm).