OPTADS360
ATNETWORK
RANDOM
ON
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Chứng minh (1+x)^n>=1+nx

cho số thực x>-1 . chứng minh rằng : (1+x)n≥1+nx với mọi số nguyên dương n

  bởi Goc pho 01/10/2018
AMBIENT-ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (2)

  • Giao lưu:

    \(\left\{\begin{matrix}x>-1\\n\in N\\\left(1+x\right)^n\ge\left(1+nx\right)\end{matrix}\right.\)(I)

    -khi n=0 ta có 1=1 vẫn đúng => đúng với mọi n là số không âm {sao đề loại n=0 đi nhỉ}

    -với x>-1 => 1+x> 0

    vói x=0 ta có 1^n>=1 hiển nhiên đúng

    {Ta cần c/m với mọi x khác 0 và x>-1}

    C/M: Bằng quy nạp

    với n=1 ta có: (1+x)>=(1+x) hiển nhiên.

    G/s: (I) đúng với n=k tức là (1+x)^k>=(1+kx)

    Ta cần c/m (I) đúng với (k+1)

    với n=(k+1) ta có \(\left(1+x\right)^{k+1}\ge\left[1+\left(k+1\right)x\right]\)(*)

    \(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(1+x\right)^k\ge1+kx+x\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(1+kx\right)\ge1+kx+x\)

    \(\Leftrightarrow\left(1+kx\right)+x+kx^2\ge1+kx+x\Leftrightarrow kx^2\ge0\)(**)

    Mọi phép biến đổi là tương đương (**) đúng => (*) đúng

    => dpcm.

      bởi Hằng Thanh 01/10/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm

  • Giao lưu:

    \(\left\{\begin{matrix}x>-1\\n\in N\\\left(1+x\right)^n\ge1+nx\end{matrix}\right.\) (I)

    \(x>-1\Rightarrow\left(1+x\right)>1\Rightarrow\left(1+x\right)^n>1voi\forall n\in N\)

    với x=0 1^n>=1 luôn đúng ta cần c/m với x khác 0

    \(\left\{\begin{matrix}n=1\Rightarrow\left(1+x\right)^1\ge\left(1+x\right)...\left\{dung\right\}\\n=2\Rightarrow\left(1+x\right)^2\ge\left(1+2x\right)...\left\{dung\right\}\\n=2\Rightarrow\left(1+x\right)^3\ge\left(1+3x\right)...\left\{dung\right\}\end{matrix}\right.\)

    C/m bằng phản chứng:

    Giả /sủ từ giá trị (k+1) nào đó ta có điều ngược lại (*)

    Nghĩa là: khi n đủ lớn BĐT (I) không đúng nữa. và chỉ đúng đến (n=k)(**)

    Như vậy coi (**) đúng và ta chứng minh (*) là sai .

    với n=k ta có: \(\left(1+x\right)^k\ge\left(1+kx\right)\) (1) theo (*)

    vói n=(k+1) ta có theo (**)

    \(\left(1+x\right)^{k+1}\le\left[1+\left(k+1\right)x\right]\Leftrightarrow\left(1+x\right)\left(1+x\right)^k\le\left[1+kx+x\right]\)(2)

    chia hai vế (2) cho [(1+x)>0 {do x>-1}] BĐT không đổi

    \(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(1+x\right)^k\le\frac{\left[\left(1+kx\right)+x\right]}{1+x}\) từ (1)=> \(\frac{1+kx+x}{x+1}\ge\left(1+x\right)^k\ge\left(1+kx\right)\)

    \(\Rightarrow\frac{\left(1+kx\right)+x}{x+1}\ge\left(1+kx\right)\Leftrightarrow\left(1+kx\right)+x\ge\left(1+kx\right)+x+kx^2\)(3)

    \(\left(3\right)\Leftrightarrow\left[\left(1+kx\right)+x\right]-\left[\left(1+kx\right)+x\right]\ge kx^2\)\(\Leftrightarrow0\ge kx^2\) (***)

    {(***) đúng chỉ khi x=0 ta đang xét x khác 0} vậy (***) sai => (*) sai

    ĐIều giả sử sai--> không tồn tại giá trị (k+1) --> làm BĐT đổi chiều:

    => đpcm

      bởi Đỗ Việt Hoàng 02/10/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11