Hai quả cầu treo tiếp xúc với nhau bằng các sợi dây dài bằng nhau. Khối lượng của quả cầu bên trái là M và khối lượng của cầu bên phải là m (hình vẽ). Kéo lệch quả cầu bên trái một góc \(\alpha \) và thả ra. Sau khi va chạm vào nhau, quả cầu bên trái dừng lại, còn quả cầu bên phải lệch một góc \(\beta \). Hãy thiết lập biểu thức liên hệ giữa góc lệch \({{\alpha }_{1}}\) và \({{\beta }_{1}}\) của quả cầu bên trái và quả cầu bên phải sau lần va chạm thứ hai. Biết rằng sau mỗi lần va chạm có một tỉ lệ k của phần thế năng biến dạng của các quả cầu chuyển thành nhiệt

Gọi v là vận tốc của quả cầu M ngay trước va chạm; \({v}'\) là vận tốc quả cầu m ngay sau va chạm. Hệ "hai quả cầu" là hệ kín

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho M tại hai vị trí B và C, ta được:

\(\frac{1}{2}M{{v}^{2}}=Mgl\left( 1-\cos \alpha  \right)\Rightarrow v=\sqrt{2gl\left( 1-\cos \alpha  \right)}\) (1)

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho m tại hai vị trí C và D, ta được:

\(\frac{1}{2}m{{{v}'}^{2}}=mgl\left( 1-\cos \beta  \right)\Rightarrow {v}'=\sqrt{2gl\left( 1-\cos \beta  \right)}\) (2)

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ trước và sau va chạm, ta được:

\(Mv=m{v}'\Leftrightarrow M\sqrt{2gl\left( 1-\cos \alpha  \right)}=m\sqrt{2gl\left( 1-\cos \beta  \right)}\)

\(\Rightarrow \frac{M}{m}=\sqrt{\frac{1-\cos \beta }{1-\cos \alpha }}\) (3)

Gọi \(\Delta W\) là phần cơ năng bị tiêu hao sau một lần va chạm; \({{W}_{t}}\) là thế năng biến dạng của các quả cầu; \({{v}_{0}}\) là vận tốc chung của hai quả cầu lúc chúng biến dạng tối đa, ta có:

\(Mgl\left( 1-\cos \alpha  \right)=Mgl\left( 1-\cos \beta  \right)+\Delta W\) (4)

\(\Delta W=k{{W}_{t}}\)

\(Mv=\left( M+m \right){{v}_{0}}\Rightarrow {{v}_{0}}=\frac{M}{M+m}v\) (bảo toàn động lượng)

\(\frac{1}{2}M{{v}^{2}}=\frac{1}{2}\left( M+m \right)v_{0}^{2}+{{W}_{t}}\) (bảo toàn cơ năng)

\(\Rightarrow {{W}_{t}}=\frac{1}{2}M{{v}^{2}}\left( \frac{M}{M+m} \right)\)

Mặt khác: \(\frac{1}{2}M{{v}^{2}}=Mgl\left( 1-\cos \alpha  \right)\) nên \({{W}_{t}}=\frac{mM}{M+m}gl\left( 1-\cos \alpha  \right)\) (5)

\(\Rightarrow \Delta W=k{{W}_{t}}=k\frac{mM}{M+m}gl\left( 1-\cos \alpha  \right)\) (6)

Sau lần va chạm thứ nhất, ta có:

\(Mgl\left( 1-\cos \alpha  \right)=mgl\left( 1-\cos \beta  \right)+k\frac{mM}{M+m}gl\left( 1-\cos \alpha  \right)\)

\(\Leftrightarrow M\left( 1-\cos \alpha  \right)=M\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1-\cos \beta }}\left( 1-\cos \beta  \right)+k\frac{mM}{M+m}\left( 1-\cos \alpha  \right)\) (7)

Sau lần va chạm thứ hai, ta có:

\(mgl\left( 1-\cos \beta  \right)=Mgl\left( 1-\cos {{\alpha }_{1}} \right)+mgl\left( 1-\cos {{\beta }_{1}} \right)+k\frac{mM}{M+m}gl\left( 1-\cos \beta  \right)\)

\(\Leftrightarrow m\left( 1-\cos \beta  \right)=M\left( 1-\cos {{\alpha }_{1}} \right)+m\left( 1-\cos {{\beta }_{1}} \right)+k\frac{mM}{M+m}\left( 1-\cos \beta  \right)\) (8)

Mặt khác theo định luật bảo toàn động lượng cho hệ trong lần va chạm thứ hai, ta có:

\(m{v}'=M{{v}_{1}}+m{{v}_{2}}\)

\(\Leftrightarrow m\sqrt{2gl\left( 1-\cos \beta  \right)}=M\sqrt{2gl\left( 1-\cos {{\alpha }_{1}} \right)}+m\sqrt{2gl\left( 1-\cos {{\beta }_{1}} \right)}\)

\(\Leftrightarrow m\sqrt{1-\cos \beta }=M\sqrt{1-\cos {{\alpha }_{1}}}+m\sqrt{1-\cos {{\beta }_{1}}}\) (9)

Sau lần va chạm thứ nhất, quả cầu M dừng lại và \(M<m\Rightarrow 1-\cos \beta <1-\cos \alpha \)

Đặt: \(a=\sqrt{1-\cos \alpha };b=\sqrt{1-\cos \beta };x=\sqrt{1-\cos {{\alpha }_{1}}};y=\sqrt{1-\cos {{\beta }_{1}}}\) với \(a>b\)

Từ (3): \(\frac{M}{m}=\frac{b}{a}\Rightarrow \frac{m}{M+m}=\frac{a}{a+b}\Leftrightarrow \frac{mM}{M+m}=\frac{Ma}{a+b}\)

Từ (7): \(M{{a}^{2}}=M\frac{a}{b}{{b}^{2}}+k\frac{Ma}{a+b}{{a}^{2}}\Rightarrow a=b+k\frac{{{a}^{2}}}{a+b}\)

\(\Rightarrow k=\frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}\) (10)

Từ (8): \(M\frac{a}{b}{{b}^{2}}=M{{x}^{2}}+M\frac{a}{b}{{y}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}.\frac{Ma}{a+b}{{b}^{2}}\)

\(\Rightarrow ab={{x}^{2}}+\frac{a}{b}{{y}^{2}}+\frac{\left( a-b \right){{b}^{2}}}{a}\) (11)

Từ (9): \(M\frac{a}{b}b=Mx+M\frac{a}{b}\Rightarrow y=\frac{b\left( a-x \right)}{a}\) (12)

Thay giá trị của y từ (12) vào (11), ta được:

\(ab={{x}^{2}}+\frac{a}{b}{{\left( \frac{b\left( a-x \right)}{a} \right)}^{2}}+\frac{\left( a-b \right){{b}^{2}}}{a}\)

\(\Rightarrow x=b\Leftrightarrow \sqrt{1-\cos {{\alpha }_{1}}}=\sqrt{1-\cos \beta }\Rightarrow {{\alpha }_{1}}=\beta \)

Từ đó, quan hệ giữa các góc \({{\alpha }_{1}}\) và \({{\beta }_{1}}\) có thể biểu diễn qua hệ thức:

\(\sqrt{1-\cos {{\beta }_{1}}}=\frac{\sqrt{1-\cos {{\alpha }_{1}}}\left( \sqrt{1-\cos \alpha }-\sqrt{1-\cos {{\alpha }_{1}}} \right)}{\sqrt{1-\cos \alpha }}\)

Vậy: hệ thức liên hệ giữa \({{\alpha }_{1}}\) và \({{\beta }_{1}}\) là

\(\sqrt{1-\cos {{\beta }_{1}}}=\frac{\sqrt{1-\cos {{\alpha }_{1}}}\left( \sqrt{1-\cos \alpha }-\sqrt{1-\cos {{\alpha }_{1}}} \right)}{\sqrt{1-\cos \alpha }}\)