Đường thẳng d thành đường thẳng d’ có phương trình được xác định bằng cách: Mỗi điểm \(M(x,y) \in d'\) là ảnh của một điểm \({M_0}({x_0};{y_0})\) thuộc d qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = \left( {2;1} \right),\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{M_0}({x_0};{y_0}) \in d\\\overrightarrow {{M_0}M}  = \overrightarrow v \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x_0} + {y_0} + 1 = 0\\x - {x_0} = 2\\y - {y_0} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x_0} + {y_0} + 1 = 0\\{x_0} = x - 2\\{y_0} = y - 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 3(x - 2) + (y - 1) + 1 = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 6 = 0.\) Đây chính là phương trình của d’.