Hai góc \(15{}^\circ \) và \(75{}^\circ \) phụ nhau nên \(\sin 75{}^\circ =\cos 15{}^\circ .\)

Hai góc \(20{}^\circ \) và \(110{}^\circ \) hơn kém nhau \(90{}^\circ \) nên \(\cos 110{}^\circ =-\sin 20{}^\circ .\)

Do đó

\(\begin{align} & S={{\sin }^{2}}{{15}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{20}^{{}^\circ }}+{{\sin }^{2}}{{75}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{110}^{{}^\circ }} \\ & ={{\sin }^{2}}{{15}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}20+{{\cos }^{2}}{{15}^{{}^\circ }}+{{\left( -\sin {{20}^{{}^\circ }} \right)}^{2}} \\ & =\left( {{\sin }^{2}}{{15}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{15}^{{}^\circ }} \right)+\left( {{\sin }^{2}}{{20}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{20}^{{}^\circ }} \right)=2 \\ \end{align} \)