Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ của hàm số.

- Dựa vào định nghĩa để xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

+ Đường thẳng \(y = {y_0}\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} + \infty } y = {y_0}\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } y = {y_0}\).

+ Đường thẳng \(x = {x_0}\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = {\rm{\;}} + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = {\rm{\;}} - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = {\rm{\;}} + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = {\rm{\;}} - \infty \).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).

Ta có

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} + \infty } \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = 1 \Rightarrow y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = - 1 \Rightarrow y = {\rm{\;}} - 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \left( { - 1} \right)} \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \infty {\rm{\;}} \Rightarrow x = {\rm{\;}} - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \infty {\rm{\;}} \Rightarrow x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả 4 đường tiệm cận.

Chọn A.