-
Câu hỏi:
Cho tam giác OAB đều cạnh a. Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng (OAB) lấy điểm M sao cho OM = x. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB và OB. Gọi N là giao điểm của EF và d (hình vẽ minh họa bên dưới). Tìm giá trị của x theo a để thể tích khối tứ diện ABMN có giá trị nhỏ nhất.
.png)
Lời giải tham khảo:
Do tam giác OAB đều cạnh a, suy ra F là trung điểm \(OB \Rightarrow OF = \frac{a}{2}.\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
AF \bot OB\\
AF \bot MO
\end{array} \right. \Rightarrow AF \bot \left( {MOB} \right) \Rightarrow AF \bot MB.\)Lại có \(MB \bot AE\) nên suy ra \(MB \bot \left( {AEF} \right) \Rightarrow MB \bot EF.\)
Suy ra \(\Delta OBM\) đồng dạng \(\Delta ONF\) nên \(\frac{{OB}}{{OM}} = \frac{{ON}}{{OF}}ON = \frac{{OB.OF}}{{OM}} = \frac{{{a^2}}}{{2x}}.\)
Ta có \({V_{ABMN}} = {V_{ABOM}} + {V_{ABON}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta OAB}}\left( {OM + ON} \right) = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}\left( {x + \frac{{{a^2}}}{{2x}}} \right) \ge \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}.\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{{{a^2}}}{{2x}} \Leftrightarrow x = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Khối chóp có diện tích đáy là B, chiều cao bằng h. Thể tích V khối chóp là:
- Hình nào dưới đây không phải là hình đa diện?
- Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 6 \). Thể tích của khối chóp bằng
- Cho khối lăng trụ đứng có cạnh bên bằng 5, đáy là hình vuông có cạnh bằng 4. Hỏi thể tích khối lăng trụ là:
- Cho khối chóp S.ABC, trên ba cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A', B', C' sao cho \(SA' = \frac{1}{2}SA,SB' = \frac{1}{3}SB,SC' = \frac{1}{4}SC\). Gọi V và V' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và S.A'B'C'. Khi đó tỉ số \(\frac{{V'}}{V}\) là:
- Cho khối chóp OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc tại O và OA = 2, OB = 3, OC = 6. Thể tích khối chóp bằng
- Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc mặt đáy, tam giác ABC vuông tại A, SA = 4, AB = 3, BC = 5. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
- Cho hình chóp đều S.ABCD có chiều cao bằng \(a\sqrt 2\) và độ dài cạnh bên bằng \(a\sqrt 6 \), tính thể tích khối chóp S.ABCD
- Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB = 2cm, AD = 3cm, AA = 7cm. Tính thể tích khối hộp ABCD.ABCD.
- Cho khối lăng trụ tam giác ABC.ABC có thể tích bằng 1. Tính thể tích V của khối chóp AABC.
- Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có CC' = 2a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và \(AC = a\sqrt 2 \). Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
- Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a và thể tích bằng a3. Tính chiều cao h của hình chóp đã cho.
- Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA vuông góc mặt đáy. Góc giữa SC và mặt đáy của hình chóp bằng 600. Thể tích khối chóp S.ABCD là
- Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(\Delta SAB\) đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Biết SC tạo với (ABCD) một góc bằng 300. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
- Tính thể tích khối hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và \(\widehat {BAD} = 60^\circ \), AC' hợp với đáy (ABCD) một góc 600
- Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với \(BA = BC = a\sqrt 2 \). Gọi M là trung điểm AC', biết BM hợp với mặt phẳng (ABC) một góc 300. Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là:
- Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC sao cho \(\frac{{DM}}{{DA}} = \frac{{DN}}{{DB}} = \frac{1}{4}.\) Lấy điểm P bất kỳ trên cạnh AB (khác A, B). Thể tích khối tứ diện P.MNC bằng:
- Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Tính tỉ số thể tích giữa khối đa diện A'B'C'BC và khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
- Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật với \(AB = \sqrt 6 ,AD = \sqrt 3 ,A'C = 3\) và mặt phẳng (AA'C'C) vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng (AA'C'C), (AA'B'B) tạo với nhau góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\tan \alpha = \frac{3}{4}\). Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D'.
- Cho tam giác OAB đều cạnh a. Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng (OAB) lấy điểm M sao cho OM = x. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB và OB. Gọi N là giao điểm của EF và d (hình vẽ minh họa bên dưới). Tìm giá trị của x theo a để thể tích khối tứ diện ABMN có giá trị nhỏ nhất.
