Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên dưới. Xét hàm số \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-3 \right)\) và các mệnh đề sau:

Câu hỏi:
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên dưới. Xét hàm số \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-3 \right)\) và các mệnh đề sau:

I. Hàm số \(g\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị.

II. Hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x=0.\)

III. Hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực đại tại \(x=2.\)

IV. Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( -2;0 \right)\).

V. Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( -1;1 \right).\)

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?
- A.
  3
- B.
  2
- C.
  4
- D.
  1
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: D
Dựa vào đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) ta có:

Hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( 0;+\infty \right)\) và nghịch biến trên \(\left( -\infty ;0 \right).\)

Hàm số \(y=f\left( x \right)\) đạt cực đại tại \(x=1\) và đạt cực tiểu tại \(x=0.\)

Xét hàm số: \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-3 \right)\) ta có: \(g'\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}-3 \right)'f'\left( {{x}^{2}}-3 \right)=2xf'\left( {{x}^{2}}-3 \right)\)

\(\Rightarrow g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2xf'\left( {{x}^{2}}-3 \right)=0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ f'\left( {{x^2} - 3} \right) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} - 3 = - 2\\ {x^2} - 3 = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = 1\\ {x^2} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 1\\ x = \pm 2 \end{array} \right.\)

Với \(x=3\) ta có: \(g'\left( x \right)=6f'\left( 6 \right)>0\)

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy:

Hàm số \(y=g\left( x \right)\) có 5 điểm cực trị \(\Rightarrow \) I sai.

Hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x=0\Rightarrow \) II đúng.

Hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x=2\Rightarrow \) III sai.

Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( -2;-1 \right)\) nghịch biến trên \(\left( -1;0 \right)\) và đồng biến trên \(\left( 0;1 \right)\) \(\Rightarrow \)IV sai.

Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( -1;0 \right)\) và đồng biến trên \(\left( 0;1 \right)\Rightarrow \) V sai.

Vậy chỉ có 1 mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên.

Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải