a) Áp dụng định lí Pytago trong tam giác ABC vuông tại A tính được BC = 10 cm

BD phân giác :\(\frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}}\)

Áp dụng tính chất dãy tí số bằng nhau ta có :

\(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{AD + DC}}{{AB + BC}} = \frac{8}{{6 + 10}} = \frac{1}{2}\)

Từ đó tính được : AD = 3cm ; DC = 5cm                                

b) Xét tam giác ABC và tam giác HBA là hai tam giác vuông có:

góc nhọn :  \(\widehat {{\rm{ABC}}}\) chung

\( \Rightarrow \Delta ABC\~\Delta HBA\) (g-g)                                                     

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{BC}}{{AB}} \Leftrightarrow A{B^2} = BH \cdot BC\)

c) \( \Rightarrow \Delta ABC\~\Delta HBA\) nên ta có:

\(\widehat {{A_1}} = \widehat C\) và \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (t/c phân giác)           

Suy ra \( \Rightarrow \Delta ABI\~\Delta CBD\) (g.g)

d)  \(\frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{DC}}\)  (Do BI phân giác, BD phân giác và theo c/m ý b)

    \(\frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{AD}}{{DC}}\)

Suy ra IH. DC = IA. AD  (đpcm)