Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 - Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu

TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU

ĐỀ THI HSG LỚP 12 MÔN TOÁN Thời gian: 180 phút

 

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2}}{{ - 3}} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\). Gọi M là giao điểm của \(\Delta\) với mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 3z + 2 = 0\). Tọa độ của điểm M là:

A. (5;-1;-3).

B. (-1;1;1).

C. (2;0;-1).

D. (1;0;1).

Câu 2. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{{{x^2} - 3x}}\) có đồ thị (C). Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị (C) là:

A. 0.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Câu 3. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(\cos 3x - \cos 2x + 9\sin x - 4 = 0\) trên khoảng \(\left( {0;3\pi } \right)\) là:

A. \(\frac{{25\pi }}{6}\).

B. \(6\pi \).

C. \(\frac{{11\pi }}{3}\).

D. \(5\pi \).

Câu 4. Cho a > 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \(\frac{1}{{{a^{2016}}}} < \frac{1}{{{a^{2017}}}}\).

B. \(\frac{{\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{a} > 1\).

C. \({a^{\frac{1}{3}}} > \sqrt a \).

D. \({a^{ - \sqrt 3 }} > \frac{1}{{{a^{\sqrt 5 }}}}\).

Câu 5. Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên \(\left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\) thỏa mãn \(\int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\left[ {{f^2}\left( x \right) - 2f\left( x \right)\left( {3 - x} \right)} \right]} {\rm{d}}x = - \frac{{109}}{{12}}\). Tính \(\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} - 1}}} {\rm{d}}x\).

A. \(\ln \frac{7}{9}\).

B. \(\ln \frac{2}{9}\).

C. \(\ln \frac{5}{9}\).

D. \(\ln \frac{8}{9}\).

Câu 6. Tập xác định của hàm số \(y = {\left( {4 - 3x - {x^2}} \right)^{ - 2019}}\) là:

A. R \ {-4;1}.

B. [-4;1].

C. R.

D. (-4;1).

Câu 7. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ OH vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại H. Khẳng định nào sau đây sai?

A. \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).

B. \(OA \bot BC\).

C. H là trực tâm tam giác ABC.

D. \(AH \bot \left( {OBC} \right)\).

Câu 8. Cho phương trình \(\log _2^2x - 2{\log _2}x - \sqrt {m + {{\log }_2}x} = m\,\,(*)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [-2019;2019] để phương trình (*) có nghiệm?

A. 2020.

B. 2019.

C. 2021.

D. 4038.

Câu 9. Cho khối chóp S.ABC có SA = 6, SB = 2, SC = 4, \(AB = 2\sqrt {10} \) và \(\widehat {SBC} = 90^\circ \), \(\widehat {ASC} = 120^\circ \). Mặt phẳng (P) đi qua B và trung điểm N của SC và vuông góc với mặt phẳng (SAC) cắt cạnh SA tại M. Tính tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{S.MBN}}}}{{{V_{S.ABC}}}}\).

A. \(\frac{2}{5}\).

B. \(\frac{1}{4}\).

C. \(\frac{2}{9}\).

D. \(\frac{1}{6}\).

Câu 10. Cho dãy số (u_n) thỏa mãn: \({u_1} = 1,\,{u_2} = 11,\,{u_3} = 111,...,{u_n} = 11...1\) (n chữ số 1, \(n \in {N^*}\)). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\). Giá trị của S₂₀₁₉ bằng

A. \(\frac{1}{9}\left( {\frac{{{{10}^{2012}} - 10}}{9} + 2019} \right)\).

B. \(\frac{{10}}{9}\,\left( {{{10}^{2019}} - 1} \right) + 2019\).

C. \(\frac{1}{9}\,\left( {{{10}^{2019}} - 1} \right)\).

D. \(\frac{1}{9}\left( {\frac{{{{10}^{2020}} - 10}}{9} - 2019} \right)\).

ĐÁP ÁN

1.B

2.D

3.B

4.D

5.B

6.A

7.D

8.C

9.D

10.D

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 1 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1. Xét dãy số (a_n) xác định bởi \({a_1} = 3,{a_2} = 7\) và \({a_{n + 2}} = 3{a_{n + 1}} - {a_n}\) với n = 1, 2, 3, ...

a) Chứng minh rằng \(\frac{{a_1^2}}{7} + \frac{{a_2^2}}{{{7^2}}} + ... + \frac{{a_n^2}}{{{7^n}}} < \frac{{142}}{3},\forall n = 1,\,2,\,3,...\)

b) Với mỗi \(n \ge 1\), đặt \({b_n} = \frac{1}{{{a_1}{a_2}}} + \frac{1}{{{a_2}{a_3}}} + ... + \frac{1}{{{a_n}{a_{n + 1}}}}\). Chứng minh rằng dãy số (b_n) có giới hạn hữu hạn khi \(n \to + \infty \) và tìm giới hạn đó.

Bài 2. Cho đa thức bậc ba \(P\left( x \right) = {x^3} - 3x\).

a) Chứng minh rằng tồn tại các số thực a, b, c đôi một phân biệt sao cho \(P\left( a \right) = b,\,P\left( b \right) = c,\,P\left( c \right) = a\).

b) Giả sử tồn tại 3 bộ số thực \(\left( {{a_i},{b_i},{c_i}} \right)\) với \(i = \overline {1,3} \) gồm 9 số đôi một phân biệt sao cho \(P\left( {{a_i}} \right) = {b_i},P\left( {{b_i}} \right) = {c_i},P\left( {{c_i}} \right) = {a_i}\) với \(i = \overline {1,3} \). Đặt \({S_i} = {a_i} + {b_i} + {c_i}\) với \(i = \overline {1,3} \). Chứng minh rằng \(S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 \ne {S_1}.{S_2} + {S_2}.{S_3} + {S_3}.{S_1}\).

Bài 3.

Cho AB là một dây cố định khác đường kính của đường tròn (O) cố định. Gọi M là trung điểm của cung nhỏ AB. Xét đường tròn (O') thay đổi tiếp xúc với đoạn thẳng AB và tiếp xúc trong với (O) ( sao cho O' khác phía với M so với đường thẳng AB). Các đường thẳng qua M vuông góc với O'A, O'B cắt đường thẳng AB lần lượt tại các điểm C, D.

a) Chứng minh rằng AB = 2CD.

b) Gọi T là một điểm thuộc (O') sao cho \(\widehat {ATB} = 90^\circ \). Tiếp tuyến của (O') tại T cắt đoạn AB tại N và đường thẳng MN cắt (O) tại K khác M. Vẽ đường tròn qua M, K và tiếp xúc ngoài với (O') tại S. Chứng minh rằng điểm S luôn di động trên một đường tròn cố định khi (O') thay đổi.

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy hai điểm nguyên (hoành độ và tung độ là các số nguyên) A, B được gọi là “thân thiết” với nhau nếu A, B khác O và \( - 1 \le \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} \le 1\) với O là gốc tọa độ.

a) Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm nguyên M(x;y) với \(\left| x \right| \le 19,\left| y \right| \le 19\) thỏa mãn điểm M và điểm N(3;7) “thân thiết” với nhau?

b) Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu điểm nguyên đôi một “thân thiết” với nhau?

ĐÁP ÁN

Bài 1:

Kiến thức sử dụng: Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là phương trình sai phân dạng: \({u_1} = \alpha ,{u_2} = \beta ,a{u_{n + 1}} + b{u_n} + c{u_{n - 1}} = f\left( n \right)\) với \(\forall n \in {N^*}\). Nếu \({\lambda _1},{\lambda _2}\) là hai nghiệm thực khác nhau thì \({u_n} = A\lambda _1^n + B\lambda _2^n\), trong đó A, B được xác định khi biết \({u_1},{u_2}\).

Ta có: \({a_{n + 2}} = 3{a_{n + 1}} - {a_n} \Leftrightarrow {a_{n + 2}} - 3{a_{n + 1}} + {a_n} = 0\).

Xét phương trình đặc trưng của dãy \(\left( {{a_n}} \right)\) là \({x^2} - 3x + 1 = 0\) với hai nghiệm \(x = {\lambda _1} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\), \(x = {\lambda _2} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\) thỏa mãn \({\lambda _1} + {\lambda _2} = 3,{\lambda _1}{\lambda _2} = 1\).

Khi đó ta có \({a_n} = A\lambda _1^n + B\lambda _2^n\).

Với n = 1 ta có \({a_1} = A{\lambda _1} + B{\lambda _2} \Leftrightarrow A{\lambda _1} + B{\lambda _2} = 3{\rm{ }}\left( 1 \right)\).

Với n = 2 ta có \({a_2} = A\lambda _1^2 + B\lambda _2^2 \Leftrightarrow A\lambda _1^2 + B\lambda _2^2 = 7{\rm{ }}\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) suy ra A = 1, B = 1 và \({a_n} = \lambda _1^n + \lambda _2^n,\forall n \ge 1\).

Ta có \(\frac{{a_n^2}}{{{7^n}}} = \frac{{{{\left( {\lambda _1^n + \lambda _2^n} \right)}^2}}}{{{7^n}}} = {\left( {\frac{{\lambda _1^2}}{7}} \right)^n} + {\left( {\frac{{\lambda _2^2}}{7}} \right)^n} + \frac{2}{{{7^n}}},\forall n \ge 1\)

Đặt \({\varphi _1} = \frac{{\lambda _1^2}}{7},{\varphi _2} = \frac{{\lambda _2^2}}{7}\). Có \({\varphi _1},{\varphi _2} \in \left( {0;1} \right)\) và \({\varphi _1} + {\varphi _2} = 1,{\varphi _1}{\varphi _2} = \frac{1}{{49}},\frac{{a_n^2}}{{{7^n}}} = \varphi _1^n + \varphi _2^n + \frac{2}{{{7^n}}},\forall n \ge 1\)

Ta có \(\frac{{a_1^2}}{7} + \frac{{a_2^2}}{{{7^2}}} + ... + \frac{{a_n^2}}{{{7^n}}} = \left( {{\varphi _1} + \varphi _1^2 + ... + \varphi _1^n} \right) + \left( {{\varphi _2} + \varphi _2^2 + ... + \varphi _2^n} \right) + \left( {\frac{2}{7} + \frac{2}{{{7^2}}} + ... + \frac{2}{{{7^n}}}} \right)\) \(< \frac{{{\varphi _1}}}{{1 - {\varphi _1}}} + \frac{{{\varphi _2}}}{{1 - {\varphi _2}}} + 2.\frac{{\frac{1}{7}}}{{1 - \frac{1}{7}}} = \frac{{{\varphi _1}}}{{1 - {\varphi _1}}} + \frac{{{\varphi _2}}}{{1 - {\varphi _2}}} + \frac{1}{3} = \frac{{142}}{3}\) \(\forall n \ge 1\) (đpcm).

b) Trước hết ta chứng minh \({a_n}{a_{n + 2}} - a_{n + 1}^2 = 5\) với mọi \(n \ge 1\) (bằng phương pháp quy nạp).

Với n = 1 mệnh đề đúng.

Giả sử mệnh đề đã cho đúng với n = k \(\left( {k \in N,\,\,k > 1} \right)\), ta có \({a_k}{a_{k + 2}} - a_{k + 1}^2 = 5\).

Ta chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. Thật vậy:

\({a_{k + 1}}{a_{k + 3}} - a_{k + 2}^2 = {a_{k + 1}}\left( {3{a_{k + 2}} - {a_{k + 1}}} \right) - a_{k + 2}^2 = {a_{k + 2}}\left( {3{a_{k + 1}} - {a_{k + 2}}} \right) - a_{k + 1}^2 = {a_{k + 2}}.{a_k} - a_{k + 1}^2 = 5\) (đpcm).

Ta có \(\frac{1}{{{a_{i + 1}}{a_{i + 2}}}} = \frac{1}{5}.\frac{{{a_i}{a_{i + 2}} - a_{i + 1}^2}}{{{a_{i + 1}}{a_{i + 2}}}} = \frac{1}{5}\left( {\frac{{{a_i}}}{{{a_{i + 1}}}} - \frac{{{a_{i + 1}}}}{{{a_{i + 2}}}}} \right),\forall i \ge 1.\)

Ta có thể định nghĩa thêm \({a_0} = 2\) thì dãy số vẫn thỏa mãn hệ thức truy hồi.

Từ đó \({b_n} = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\frac{1}{{{a_{i + 1}}{a_{i + 2}}}} = \frac{1}{5}\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\left( {\frac{{{a_i}}}{{{a_{i + 1}}}} - \frac{{{a_{i + 1}}}}{{{a_{i + 2}}}}} \right) = \frac{1}{5}\left( {\frac{{{a_0}}}{{{a_1}}} - \frac{{{a_n}}}{{{a_{n + 1}}}}} \right)} } ,\forall n \ge 1.\)

Theo câu a) ta có \({a_n} = \lambda _1^n + \lambda _2^n,\forall n\). Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{a_n}}}{{{a_{n + 1}}}} = \frac{2}{{3 + \sqrt 5 }} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {b_n} = \frac{1}{5}\left( {\frac{2}{3} - \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right) = \frac{{ - 5 + 3\sqrt 5 }}{{30}}\) (đpcm).

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 2 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Bài 1. (5 điểm) Cho hàm số \(f:R \to R\) thỏa mãn

\({\left( {f\left( {{x^3} + x} \right)} \right)^2} \le f\left( {2x} \right) + 2\) và \({\left( {f\left( { - 2x} \right)} \right)^3} \ge 3f\left( { - {x^3} - x} \right) + 2\) với mọi \(x \in R\).

a) Chứng minh rằng f(x) không phải là đơn ánh trên R.

b) Chứng minh rằng \(f(x) \ge - 1\) với mọi \(x \in R\).

Bài 2. (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân và nội tiếp (O). Một đường tròn (J) thay đổi đi qua B, C và cắt các đoạn thẳng AB, AC lần lượt tại D và E. Trên đường thẳng BC lấy hai điểm phân biệt R, S sao cho (DER) và (DES) tiếp xúc với đường thẳng BC. Giả sử (ADE) cắt (O) tại M khác A. Gọi (O') là đường tròn ngoại tiếp tam giác RSM.

a) Chứng minh rằng đường tròn (O') đi qua trực tâm của tam giác ARS.

b) Chứng minh rằng điểm O' luôn di động trên một đường thẳng cố định khi (J) thay đổi.

Bài 3. (5 điểm) Cho S là tập hợp các bộ \(\left( {{a_1}\,,\,{a_2}\,,\,...\,,\,{a_{164}}} \right)\) là hoán vị của 164 số nguyên dương đầu tiên.

a) Có bao nhiêu hoán vị \(\left( {{a_1}\,,\,{a_2}\,,\,...\,,\,{a_{164}}} \right)\) thuộc S sao cho với mọi \(i \in \left\{ {1\,,\,2\,,\,...\,,\,164} \right\}\) ta luôn có \({a_i} \ne i\) và \({a_i} \equiv i\left( {\bmod 41} \right)\)?

b) Tồn tại hay không hoán vị \(({a_1},{a_2}, \ldots ,{a_{164}})\) thuộc S sao cho với mọi \(i \in \{ 1,2, \ldots ,164\} \) đều tồn tại các số nguyên \({b_i} \in \{ 0,1, \ldots ,40\} \) thỏa mãn \({a_1} + {a_2} + \cdots + {a_i} \equiv b_i^2{\rm{ }}(\bmod 41)\)?

Bài 4. (5 điểm)

Tại một hội nghị khoa học có 100 đại biểu tham dự. Người ta nhận thấy rằng không có 3 đại biểu nào đôi một quen nhau. Biết rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho không có đại biểu nào quen quá n đại biểu khác và với mọi k, \(1 \le k \le n\) có ít nhất một đại biểu quen đúng k đại biểu khác. Hãy tìm giá trị lớn nhất của n.

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 3 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1. (2,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x - 3{m^2} - 1\) có hai điểm cực trị \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + 4{x_2} = 0\).

Câu 2. (4,0 điểm)

a) Cho \(a = {\log _5}6\) và \(b = {\log _6}12\). Tính \({\log _3}60\) theo a và b.

b) Giải phương trình \(\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} = 2 - \frac{{{x^2}}}{4}\).

Câu 3. (2,0 điểm)

Một biển quảng cáo có dạng hình chữ nhật ABCD được sơn trang trí như hình bên. Chi phí để sơn phần tô đậm là 250.000 đồng/m² và phần còn lại là 160.000 đồng/m2. Hỏi số tiền để sơn biển quảng cáo theo cách trên là bao nhiêu?

Biết AD = 4m, CD = 3m và AE = EF = FB.

Câu 4. (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 điểm A(1;0;3), B(-3;1;3), C(1;5;1). Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho biểu thức \(T = 2\left| {\overrightarrow {MA} } \right| + \left| {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) có giá trị nhỏ nhất.

Câu 5. (2,0 điểm) Tính tổng \(S = {2^2}C_{2019}^2 - {3^2}C_{2019}^3 + ... + {\left( { - 1} \right)^k}{k^2}C_{2019}^k + ... - {2019^2}C_{2019}^{2019}.\)

Câu 6. (2,0 điểm)

a) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD và H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC bằng \(\frac{{2a}}{3}\). Tính theo a thể tích khối tứ diện SHMC.

b) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có \(AB = 2\sqrt 3 ,\,AA' = 3\), Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh A'B', A'C' và BC. Tính côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( AB'C') và (MNP).

Câu 7. (2,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + 4 = 2xy\\ {2^{x + y}} = m\left( {x + y + \sqrt {{x^2} + x + {y^2} + y + 5} } \right) \end{array} \right.\) có nghiệm (x;y) thỏa mãn \(x \ge 1,y \ge 1\).

Câu 8. (2,0 điểm)

Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn \(x \ge y \ge z\) và \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 5\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)\left( {xy + yz + zx} \right)\).

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 4 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1 (5 điểm). Cho hàm số \(y = 2{x^3} - 3\left( {m + 3} \right){x^2} + 18mx + 8\), m là tham số.

a) Tìm m để hàm số đã cho đồng biến trên R.

b) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.

c) Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [-1;0] bằng -24.

Câu 2 (3,5 điểm).        

a) Giải phương trình \({8.25^x} - {8.10^x} - {15.2^{2x + 1}} = 0\).

b) Giải phương trình \(\left( {1 + 2\sin 4x} \right)\tan 2x = 1\).

Câu 3 (3,5 điểm). Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Tam giác BCD là tam giác đều AB = a, BC = 2a.

1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD).

2) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường AC và BD.

Câu 4 (3,0 điểm). Trong một tiết học môn Toán, giáo viên mời ba học sinh A, B, C thực hiện trò chơi như sau: Mỗi bạn A, B, C chọn ngẫu nhiên một số nguyên khác 0 thuộc khoảng (-6;6) và lần lượt thế vào ba tham số của hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\), nếu đồ thị hàm số thu được có ba điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành thì được nhận thưởng. Tính xác suất để ba học sinh A, B, C được nhận thưởng.

Câu 5 (2,5 điểm). Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} - {x^2}y - {y^2} - 2x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ \sqrt x - x - 2 = \sqrt {3y - 2} - 2{y^2}\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.\)

Câu 6 (2,5 điểm).  

1) Cho ba số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = \frac{a}{{2b + 3c}} + \frac{b}{{2c + 3a}} + \frac{c}{{2a + 3b}}\)

2) Chứng minh rằng \(C_{3n}^n\) chia hết cho 3 với mọi n nguyên dương.

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 5 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích dẫn nội dung Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán 12 năm 2021 có đáp án Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu. Để xem toàn bộ nội dung các em đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tư liệu cùng chuyên mục tại đây:

• Bộ 5 đề thi thử chọn HSG môn Toán lớp 12 - Trường THPT Hà Huy Tập

Chúc các em học tốt!