Mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài giảng Bài 1: Số thực sau đây để tìm hiểu về Một số thiếu sót của Q, tính chất được sắp hoàn chỉnh, vài ứng dụng của tính chất được sắp hoàn chỉnh, giá trị tuyệt đối - Nhị thức Newton.
Tóm tắt lý thuyết
1. Một số thiếu sót của Q
Mệnh đề: Phương trình \(x^2 =2\) không có nghiệm trong Q.
Chứng minh: Giả sử \(x^2 =2\) có nghiệm trong Q là x0
\(\Rightarrow {x_0} = \frac{m}{n}\) với ra \(m,n \in Z,n \ne 0\,\,và\,\frac{m}{n}\) là phân số tối giản (m, n nguyên tố cùng nhau)
Khi đó \({\left( {\frac{m}{n}} \right)^2} = 2 \Rightarrow \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}} = 2 \Rightarrow {m^2} = 2{n^2}\) (1)
⇒ m2 là số chẵn ⇒ m là số chân (vì nếu m là số lẻ thì m2 là số lẻ) ⇒ m = 2k (k \(\in\) Z, k \(\ne\) 0 ) (2)
(1) và (2) \(\Rightarrow {(2k)^2} = 2{n^2} \Rightarrow 2{k^2} = {n^2} \Rightarrow {n^2}\) là số chẵn
⇒ n là số chẵn \(\Rightarrow n = 2h(h \in Z,h \ne 0) \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{{2k}}{{2h}} = \frac{k}{h}\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}\) không là phân số không tối giản
⇒ mâu thuẫn với giả thiết.
Do đó phương trình x2 = 2 không có nghiệm trong Q.
2. Tính chất được sắp hoàn chỉnh:
Khái niệm
Tất cả các số hữu tỷ và vô tỷ gọi chung là số thực.
Tập hợp các số thực ký hiệu là R. Trên R có các tính chất về phép cộng, nhân và bất đảng thức như đã biết.
Đinh nghĩa: Cho \(A \subset R\)và \(A \ne \emptyset\)
A là bị chận trên nếu \(\exists k \in R\) sao cho \(x \le k,\forall x \in A\)
A bị chận dưới nếu \(\exists k \in R\) sao cho \(x \ge k,\forall x \in A\)
Tính chất được sắp hoàn chỉnh:
Mọi tập con của R khác \(\emptyset\) bị chận trên đều tồn tại chận trên nhỏ nhất.
Nhận xét: nếu A có chận trên nhỏ nhất thì chận trên nhỏ nhất là duy nhất và ký hiệu là supA.
Chứng minh: Giả sử A có hai chận trên nhỏ nhất là k1 và k2, ta có:
\({k_1} \le {k_2}\) (vì k1 là chận trên nhỏ nhất)
\({k_2} \le {k_1}\) (vì k2 là chận trên nhỏ nhât)
⇒ k1 = k2
M là chận trên nhỏ nhất của A nếu mọi T là chận trên của A thì \(M \le T\)
m là chận dưới lớn nhất của A nếu ta có \(m \ge t,\forall t\) là chận dưới của A.
\(A \subset R,A \ne \emptyset\). Nếu A bị chận trên thì A có vô số chận trên. Nếu A bị chận dưới thì A có vô số chận dưới.
Hệ quả: Cho \(A \subset R,A \ne \emptyset\). Nếu A bị chận dưới thì A có chận dưới lớn nhất, ký hiệu là inf A .
Chứng minh: Đặt \(B = \{-x / x \in A\}\). Vì A bị chận dưới nên tồn tại \(m \in R\) sao cho :
\(m \le x,\forall x \in A \Rightarrow - x \le - m,\forall - x \in B\)
⇒ B bị chận trên, do tính được sáp hoàn chỉnh ta có Sup B tồn tại.
Ta có: \(\forall x \in A, - x \le sup{\rm{ }}B \Rightarrow - sup{\rm{ }}B < x\)
\(\Rightarrow - Sup{\rm{ }}B\) là một chận dưới của A.
Ta sẽ chứng minh -sup B là một chận dưới lớn nhất của A. Thật vậy, \(\forall t\) là chận dưới của A thì
\(t \le x,\forall x \in A\)
\(\Rightarrow - x \le - t,\forall - x \in B\)
⇒ - t là một chận trên của B
\(\Rightarrow sup{\rm{ }}B \le - t \Rightarrow {\rm{ }}t \le - sup{\rm{ }}B\)
=> inf A = -sup B
Ví dụ: Với A={-7,5,-2,1} thì supA = 5 ; inf A = -7
A = {-2,18} thì supA =18; inf A = -2
A= [-7; 12] thì supA = 12 ; infA = - 7
A =(-5,2) thì supA = 2 ; inf A = - 5
Nhận xét: SupA có thể thuộc A hoạc không thuộc A. Nếu supA \(\in\) A ta có supA = maxA
InfA có thể thuộc A hoạc không thuộc A.
Nếu inf A e A ta có inf A = min A
Mênh đề (đặc trưng của sup).
Cho \(A \subset R,A \ne \emptyset\). Khi đó: M = sup A
(i) M là một chận trên của A
(ii) \(\forall \varepsilon > 0,\exists {x_0} \in A:M - \varepsilon < {x_0} \le M\)
Chứng minh:
(⇒) Giả sử M = supA, khi đó (i) là hiển nhiên.
\(\forall \varepsilon > 0 \Rightarrow M - \varepsilon < M \Rightarrow M - \varepsilon\) không là chặn trên của A.
⇒ mệnh đề \((\forall x \in A;x \le M - \varepsilon)\)là sai.
\(\Rightarrow \exists {x_0} \in A:M - \varepsilon < {x_0} \le M \Rightarrow\) (ii) thỏa.
Giả sử M thỏa i) và ii) ⇒ M là chặn trên. Giả sử M không là chặn trên nhỏ nhất của A.
Ta có: supA < M ⇒ supA - M < 0 .
Coi \(\varepsilon = M - supA > 0\)
Từ ii) \( \Rightarrow \exists {x_0} \in A:M - (M - \sup A) < {x_0} \le \sup A\)
\(\Rightarrow \sup A < supA\) vô lý
Vậy M phải là chặn trên nhỏ nhất của A.
3. Vài ứng dụng của tính chất được sắp hoàn chỉnh
Mệnh đề: (Tính chất Archimède)
\(\forall a,b \in R\,\,và \,a > 0\) luôn luôn \(\exists n \in N\) để cho n.a > b
Chứng minh:
Giả sử \(\exists n \in N\) để cho \(na > b \Rightarrow na \le b,\forall n \in N\).
Đặt \(A = \left\{ {n.a/n \in N} \right\}\), ta có \(A \ne \emptyset\) vì A chứa phần tử
a = 1.a
Vì \(na \in A\) và \(na .\varepsilon = a > 0\)thì :
\(\exists {x_0} \in A:supA - a < {x_0}\)
Vì \(x_0 \in A\) nên \(\exists {n_0} \in N:{x_0} = {n_0}a\)
Do đó \(\sup A - a < {n_0}a\)
\(\Rightarrow \sup A < {n_0}a + a = ({n_0} + 1)a \in A\)
⇒ vô lý.
Hệ quả: \(\forall \varepsilon > 0,\varepsilon \in R,\exists n \in N\) sao cho \(\frac{1}{n} < \varepsilon\)
Chứng minh:
Áp dụng tính chất Archimède với a = \(\varepsilon\) và b = 1 ta có:
\(n\varepsilon > 1 \Rightarrow \frac{1}{n} < \varepsilon\)
Mênh đề: Xen kẽ hai số thực khác nhau bất kỳ có ít nhất một số hữu tỷ. Nói cách khác:
\(\forall a,b \in R\,\,va\,\,a < b \Rightarrow \exists \alpha \in Q:a < \alpha < b\)
Tương tự, xen kẽ giữa hai số thực bất kỳ có ít nhất một số vô tỉ.
Mênh đề: Phương trình x2 =2 có nghiệm trong R.
Chứng minh: Đặt \(A = \left\{ {t \in [1;2]/{t^2} \le 2} \right\}\).Vì 1 \(\in\) A nên \(A \ne \emptyset \), hơn nữa A bị chặn trên bởi 2 ⇒supA tồn tại và \(1 \le supA \le 2\). Ta sẽ chứng minh rằng supA là nghiệm của phương trình x2 = 2 nghĩa là cần kiểm tra (sup A)2 = 2.
Ta chứng minh bằng phản chứng
Giả sử (sup A)2 < 2. Xét 0 < £ < 1, ta có
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {supA + \varepsilon } \right)}^2} = {{\left( {supA} \right)}^2} + 2.\varepsilon .supA{\rm{ }} + {\rm{ }}{\varepsilon ^2}}\\ { \le {{\left( {supA} \right)}^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}4.\varepsilon + {\varepsilon ^2}}\\ { \le {{\left( {supA} \right)}^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}5\varepsilon } \end{array} \)
Để \({\left( {supA} \right)^2} + 5\varepsilon = 2\) ta chọn
\(\varepsilon = \frac{{2 - {{\left( {\sup A} \right)}^2}}}{5}(0 < \varepsilon < 1)\)
Do đó với \(\varepsilon = \frac{{2 - {{\left( {\sup A} \right)}^2}}}{5}\) ta có \({(\sup A + \varepsilon )^2} \le 2\)
\(\Rightarrow \sup A + \varepsilon \in A\)
Mà sup \( \sup A + \varepsilon > \sup A\): vô lý.
ii) Giả sử (sup A)2 > 2. Xét \(\varepsilon > 0\), ta có :
\(\begin{array}{l} {\left( {\sup A - \varepsilon } \right)^2} = {(\sup A)^2} - 2\varepsilon \sup A + {\varepsilon ^2}\\ > {(\sup A)^2} - 2.\varepsilon \sup A\\ \ge {(\sup A)^2} - 4\varepsilon \end{array} \)
Để \({(\sup A)^2} - 4\varepsilon = 2\) ta chọn
\(\varepsilon = \frac{{{{(\sup A)}^2} - 2}}{4} > 0\)
Khi đó với \(\varepsilon = \frac{{{{(\sup A)}^2} - 2}}{4} > 0\), ta có \({{{(\sup A - \varepsilon )}^2} > 2}\) với \(0 \le {t^2} \le 2 \Rightarrow t \in A\) Vậy \(\sup A - \varepsilon\) là một chặn trên của A
\(\Rightarrow \sup A \le \sup A - \varepsilon \)
\(\Rightarrow \sup A - \varepsilon \le \sup A\) vô lý
4. Giá trị tuyệt đối - Nhị thức Newton.
Định nghĩa. Trị tuyệt đối của một số thực a là
\(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l} a\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,a \ge 0\\ - a\,\,\,\,neu\,\,\,a < 0 \end{array} \right. \)
Tính chất.
\(\begin{array}{l} i)\,\left| x \right| \ge 0,\forall x \in R\\ ii)\,\,\left| {x + y} \right| \le \,\left| x \right| + \,\left| y \right|;dấu\, = \,xảy\,ra\,\, \Leftrightarrow xy \ge 0\\ iii)\left| x \right| - \,\left| y \right| \le \,\left| {x - y} \right|;\,\left| x \right| - \,\left| y \right| \le \,\left| {x + y} \right|\\ iv)\,\left| {xy} \right| = \,\left| x \right|\left| y \right|;\,\left| {\frac{x}{y}} \right| = \left| {\frac{x}{y}} \right|,y \ne 0 \end{array} \)
Nhị thức Newton:
\(\begin{array}{l} {(a + b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}{a^{n - k}}{b^k}} \\ {(a - b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}{a^{n - k}}{{( - 1)}^k}.{b^k}} \end{array} \)
Qui ước
\(n! = \left\{ \begin{array}{l} n.(n - 1).(n - 2)...2.1\,\,neu\,n > 1\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,n = 0\, \vee n = 1 \end{array} \right. \)
Ta kí hiệu \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!.(n - k)!}}\)
\(\begin{array}{l} {a^n} - {b^n} = (a - b)({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + {a^{n - 3}}{b^2} + ... + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})\\ {a^n} + {b^n} = (a + b)({a^{n - 1}} - {a^{n - 2}}b + {a^{n - 3}}{b^2} + ... + a{b^{n - 2}} + {( - 1)^{n - 1}}{b^{n - 1}}) \end{array}\)
với n lẻ
Ghi chú: Khoảng mở tâm a bán kính \(\varepsilon > 0\) là
\((a - \varepsilon ;a + \varepsilon )\)
còn gọi là lân cận tâm a bán kính \(\varepsilon\).
