Bài 1: Khái niệm và giới hạn hữu hạn của hàm số

Ánh xạ \(f:D \subset R \to R\) được gọi là một hàm số thực.

D: miền xác định của f.

f(D): miền giá trị của f

Cho hai hàm số f và g có miền xác định lần lượt là D₁ và D₂. Ta nói : f = g nếu

\(\left\{ \begin{array}{l} {D_1} = {D_2}\\ f(x) = g(x),\forall x \in {D_1} \end{array} \right. \)

Hàm số f có miền xác định là D₁ và g có miền xác định là D₂.

i) Hàm (1 + g) và fg được định nghĩa:

\(\begin{array}{l} (f + g)(x) = f(x) + g(x)\\ (fg)(x) = f(x)g(x) \end{array} \)

có miền xác định là \({D_1} \cap {D_2}\)

ii) Hàm \(\frac{f}{g}(x) = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) có miền xác định \({D_1} \cap {D_2}\backslash {D_3}\)

với \({D_3} = \left\{ {x \notin {D_2}/g(x) = 0} \right\}\)

iii) Hàm \(\sqrt f :\sqrt f (x) = \sqrt {f(x)}\)

có miền xác định là \({{\rm{D}}_{{\rm{1 }}}}{\rm{\backslash A}}\) với \(A = \left\{ {x \in D{}_1:f\left( x \right) < 0} \right\}\)

Vài hàm lượng giác ngược:

y = arcsinx có miền xác định là [-1,1] và miền giá trị \(\left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]\)

y = arccosx có miền xác định là [-1,1] và miền giá trị là \(\left[ {0,\pi } \right]\)

y = arctgx có miền xác định là \(\left( { - \infty , + \infty } \right) = R\) và miền giá \(\left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right)\)

y = arccotgx có miền xác định là \(\left( { - \infty , + \infty } \right) = R\) và miền giá trị là \(\left[ {0,\pi } \right]\)

Nhắc lại: Cho \(\varepsilon > 0\).

\(\left( {{x_0} - \varepsilon ,{x_0} + \varepsilon } \right) = \left\{ {x/{x_0} - \varepsilon < x < {x_0} + \varepsilon } \right\} = \left\{ {x/\left| {x - {x_0}} \right| < \varepsilon } \right\}\)

được gọi là khoảng mở tâm x₀ bán kính \(\varepsilon\) hay còn gọi là lân cận tâm x₀ bán kính \(\varepsilon\).

Cho I là khoảng mở chứa x₀. Hàm số f xác định trên I (hoặc xác định trên \(I\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\)). Ta nói L là giới hạn của f tại x₀ nệu điều kiện sau thỏa:

“\(\forall \varepsilon > 0\) cho trước, luôn tồn tại \(\alpha > 0\) sao cho \(x \in I\) và \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \alpha \Rightarrow \left| {f(x) - L} \right| < \varepsilon \)”

Khi đó ta ký hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) (ta còn nói là f có giới hạn là L khi \(x \to {x_0}\))

Nhận xét:

i) Định nghĩa này tương tự như định nghĩa sự hội tụ của dãy. Thay N bằng \(\alpha \), thay n > N bằng \(x \in I \cap ({x_0} - \varepsilon ,{x_0} + \varepsilon )\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\)

ii) Ta cũng có thể định nghĩa: f có giới hạn là L khi \(x \to {x_0}\) nếu với mọi khoảng mở W tâm L bán kính \(\varepsilon\), luôn tồn tại một khoảng mở V tâm x₀ bán kính \(\alpha\), sao cho \(x \in I \cap V\backslash \left\{ {{x_0}} \right\} \Rightarrow f(x) \in W\)

iii) Trong định nghĩa trên \(x \to {x_0}\) nhưng \(x \ne {x_0}\)

Cho I là khoảng mở chứa x₀. Hàm số f xác định trên I (hoặc xác định trên I \{x₀}).

i) Ta nói L là giới hạn bên trái tại x₀ nếu:

“ \(\forall \varepsilon > 0,\exists \alpha > 0\) sao cho \(x \in I\) và \(0 < {x_0} - x < \alpha \Rightarrow \left| {f(x) - L} \right| < \varepsilon \)

ta ký hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_{_0}^ - } f(x) = L\)

ii) Ta nói L là giới hạn bên phải tại x₀ nếu:

“\(\forall \varepsilon > 0,\exists \alpha > 0\)sao cho \(x \in I\) và \(0 < {x_0} - x < \alpha \Rightarrow \left| {f(x) - L} \right| < \varepsilon \)

ta ký hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_{_0}^ + } f(x) = L\)

Nhận xét:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x{ \to _{{x^ - }}}} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x{ \to _{{x^ + }}}} f(x) = L\)

(hay nói khác đi: f có giới hạn là L tại x₀ ⇔ f có giới hạn trái và phải tại x₀ và hai giới hạn này cùng bằng L)

(vì \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \alpha \Leftrightarrow 0 < x - {x_0} < \alpha \,hay\,0 < {x_0} - x < \alpha\))

Ví dụ 1: Cho hàm số

\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 2x + 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,\,\,x \ne 2\\ 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,\,\,x = 2 \end{array} \right. \)

Chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 9\)

Giải:

Ta có

\(\begin{array}{l} \left| {f\left( x \right) - 9} \right| = \left| {2x + 5 - 9} \right| = \left| {2x - 4} \right| = 2\left| {x - 2} \right| < \varepsilon \\ \Leftrightarrow \left| {x - 2} \right| < \frac{\varepsilon }{2} \end{array} \)

Vậy \(\forall \varepsilon > 0,\exists \alpha = \frac{\varepsilon }{2}\) sao cho \(\left| {x - 2} \right| < \alpha = \frac{\varepsilon }{2}\)

\(\Rightarrow \left| {f(x) - 9} \right| < \varepsilon \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 9\)

Ví dụ 2: Cho \(g(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,\,x \ne 4\\ 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,\,x = 4 \end{array} \right.\). Chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} g(x) = 16\)

Giải: Ta có

\(\left| {{x^2} - 16} \right| = \left| {\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)} \right| = \left| {x + 4} \right|\left| {x - 4} \right|\)

Coi khoảng mở I tâm 4 bán kính 1 (I = (3, 5))

Ta có \(\left| {g\left( x \right) - 16} \right| = \left| {x + 4} \right|\left| {x - 4} \right| < 9\left| {x - 4} \right|\left( * \right)\,\,\forall x \in I\)và \(x \ne 4\)

Do đó: \(\forall \varepsilon > 0,\exists \alpha = \min \left\{ {\frac{\varepsilon }{9},1} \right\}\)sao cho \(0 < \left| {x - 4} \right| < \alpha\)

\( \Rightarrow \left| {f(x) - 16} \right| < \varepsilon\)

Nhận xét: Giả sử \(\frac{\varepsilon }{9} > 1\). Nếu chỉ chọn \(\alpha = \frac{\varepsilon }{9} > 1\) thì bất phương trình (*) không còn đúng (vì có thể \(0 < \left| {x - 4} \right| < \alpha\) nhưng \(x \notin I\))

Cho I là khoảng mở chứa x₀. Hàm số f xác định trên I (hoặc xác định trên I \{x₀}). Hai mệnh đề sau là tường đương:

i) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\)

ii) Với mọi dãy {x_n} chứa trong I hội tụ về x₀ và \({x_n} \ne {x_0},\forall n\) thì ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( {{x_n}} \right) = L\)

Chứng minh:

(i) ⇒ (ii) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} f\left( {{x}} \right) = L\)nên “\(\forall \varepsilon > 0,\exists \alpha > 0\) sao cho \(x \in I\) và \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \alpha \Rightarrow \left| {f(x) - L} \right| < \varepsilon\)” (1)

Dãy {x_n} trong I hội tụ về x₀ và \({x_n} \ne {x_0},\forall n\) thì với \(\alpha\) ở trên, tồn tại N sao cho \(0 < \left| {{x_n} - {x_0}} \right| < \alpha\) với mọi n > N (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

“\(\forall \varepsilon > 0,\exists N\) sao cho \(\left| {f({x_n}) - L} \right| < \varepsilon ,\forall n > N\)”

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f({x_n}) = L\)

(ii) ⇒ (i) Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) \ne L\)

⇒ “\(\exists \varepsilon > 0\) sao cho \(\forall \alpha > 0\) thỏa \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \alpha\) thì \(\left| {f(x) - L} \right| \ge \varepsilon\)

\(\forall n \in {N^*}\), chọn \(\alpha = \frac{1}{n}\)  thì tồn tại x_n sao cho

\(0 < \left| {{x_n} - {x_0}} \right| < \alpha = \frac{1}{n}\)và \(\left| {f({x_n}) - L} \right| \ge \varepsilon\)

⇒ tồn tại dãy {x_n} chứa trong I hội tụ về x₀ và \({x_n} \ne {x_0},\forall n\) nhưng \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f({x_n}) \ne L\)

Ví dụ 1: Cho \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \sin \frac{1}{x}\,\,neu\,x \ne 0\,\,\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,x = 0 \end{array} \right. \)

Chứng minh rằng f không có giới hạn tại 0 (hay \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x)\) không tồn tại)

Chứng minh: Xét dãy \({x_n} = \frac{1}{{(2n + 1)\frac{\pi }{2}}} \to 0\). Nhưng dãy \(f\left( {{x_n}} \right) = \sin \frac{1}{{{x_n}}} = \sin (2n + 1)\frac{\pi }{2} = {( - 1)^n}\)không hội tụ.

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)\) không tồn tại.

Ví dụ 2: Xét hàm số f(x) = x². Chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = 9\)

Giải:

Với mọi dãy {x_n} → 3.

Ta có: \(f({x_n}) = x_n^2 = {x_n}.{x_n} \to 3.3 = 9 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 9\)

i) Cho f xác định trên \(I = \left( {a, + \infty } \right) = \left\{ {x \in R/x > a} \right\}\). Ta nói f có giới hạn là L ở \( + \infty\), nếu: “\(\forall \varepsilon > 0,\exists B > 0\) sao cho \(x \in I\) và \(x > B \Rightarrow \left| {f(x) - L} \right| < \varepsilon\)”

Ký hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = L\)

ii) f xác định trên \(I = \left( { - \infty ,{\rm{ }}a} \right) = \left\{ {x \in R/x < a} \right\}\)

Ta nói f có giới hạn là L ở \(- \infty\) nếu: “\(\forall \varepsilon > 0,\exists B > 0\) sao cho \(x \in I\) và \(x >- B \Rightarrow \left| {f(x) - L} \right| < \varepsilon\)” .

Ký hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = L\)

Nhận xét: Định nghĩa trên hoàn toàn tương tự với định nghĩa giới hạn của dãy số.

Cho hàm số f xác định trên \(I = \left( {a, + \infty } \right)\). Khi đó, hai tính chất sau tương đương :

i) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = L\)

ii) \(\forall \) dãy \(\left\{ {{x_n}} \right\} \to + \infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f(x) = L\)

Ghi chú: Ta có phát biểu tương tự cho trường hợp \(\mathop {\lim }\limits_{n \to - \infty } f(x) = L\)

Cho I là khoảng mở chứa x₀. Hàm số f xác định trên I (hoặc xác định trên I \ {x₀} ). Giới hạn của f tại x₀ (nếu có) là duy nhất

Chứng minh :

Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} = {L_1}\,va\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = {L_2}\)

Giả sử \({L_1} < {L_2} \Rightarrow {L_2} - {L_1} > 0\)

Coi \(\varepsilon = \frac{{{L_2} - {L_1}}}{2} > 0\), ta có: vì f có giới hạn là L₁ và L₂ tại x₀ nên \(\exists {\alpha _1} > 0\) và \({\alpha _2} > 0\) sao cho:

\(x \in I\,va\,0 < \left| {x - {x_0}} \right| < {\alpha _1}\)

\(\Rightarrow - \frac{{{L_2} - {L_1}}}{2} < f(x) - {L_1} < \frac{{{L_2} - {L_1}}}{2}\)

\(\Rightarrow f(x) < \frac{{{L_1} + {L_2}}}{2}\,\,\,\,\,(1)\)

\(x \in I\) và \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < {\alpha _2}\)

\(\Rightarrow - \frac{{{L_2} - {L_1}}}{2} < f(x) - {L_2} < \frac{{{L_2} - {L_1}}}{2}\)

\(\Rightarrow f(x) > \frac{{{L_1} + {L_2}}}{2}\,\,\,\,\,(2)\)

Chọn \(\alpha = \min \left\{ {{\alpha _1},{\alpha _2}} \right\}\)

Ta có: khi \(x \in I\) và \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \alpha\). Ta có (1) và (2) đồng thời xảy ra, suy ra vô lý.

Tương tự khi L₁ > L₂

Vậy L₁ = L₂

Cho I là khoảng mở chứa x₀. Hàm số f xác định trên I (hoặc xác định trên I \ {x₀} ).

i) Nếu giới hạn của f tại x₀ tồn tại hữu hạn thì tồn tại k > 0 và một khoảng mở J chứa x₀ sao cho \(\left| {f(x)} \right| \le k,\forall x \in J\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\)

ii) Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \ne 0\)thì tồn tại k₁ > 0 và một khoảng mở J₁ sao cho \(\left| {f(x)} \right| > {k_1},\forall x \in {J_1}\backslash \{ {x_0}\}\)

Chứng minh:

Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A\)

Coi \(\varepsilon = 1,\exists \alpha > 0\) sao cho \(x \in I\) và \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \alpha\)

\(\Rightarrow \left| {f(x) - A} \right| < \varepsilon = 1\)

\( \Rightarrow \left| {f\left( x \right){\rm{ }}} \right| = {\rm{ }}\left| {A{\rm{ }} + {\rm{ }}f\left( x \right){\rm{ }} - {\rm{ }}A} \right|{\rm{ }} < {\rm{ }}\left| A \right|{\rm{ }} + {\rm{ }}\left| {f\left( x \right){\rm{ }} - {\rm{ }}A} \right|\)

\(< \left| A \right| + 1,\forall x \in I\) và \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \alpha\)

Vậy \(\exists k = \left| A \right| + 1\,\,va\,\,J = I \cap ({x_0} - \alpha ,{x_0} + \alpha )\) sao cho \(\left| {f(x)} \right| \le k,\forall x \in J\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\)

Tất cả các mệnh đề sau được suy từ các tính chất của giới hạn của dãy số, mệnh đề 3 và mệnh đề 5 của chương này.

Cho I là khoảng mở chứa x₀. Hàm số f xác định trên I (hoặc xác định trên I \ {x₀} ).

Nếu \(\left\{ \begin{array}{l} f(x) \ge 0\,\,\,\forall x \in I\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \end{array} \right. \) thì \(L \ge 0\)

Mệnh đề trên vẫn đúng khi thay x → x₀ bằng \(x \to x_0^ + ;x \to x_0^ - \,hay\,x \to \pm \infty\)

Ghi chú: tương tự như dãy số, nếu thay giả thiết bởi giả thiết \(f\left( x \right){\rm{ }} > {\rm{ }}0,{\rm{ }}\forall x \in I{\rm{ \backslash }}\left\{ {{x_0}} \right\}\)ta cũng chỉ kết luận \(L \ge 0\)

(Các phép toán trên giới hạn hàm số)

Cho I là khoảng mở chứa x₀. Hàm số f xác định trên I (hoặc xác định trên I \{x₀} ).

Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \,g(x) = M\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l} i)\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) + g(x)} \right] = L + M\\ ii)\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {kf(x)} \right] = kL\\ iii)\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x)g(x)} \right] = LM\\ iv)\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{L}{M}\,\,(dk\,M \ne 0)\\ v)\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f(x)} = \sqrt L \, \end{array} \)

Cho I là khoảng mở chứa x₀. Hàm số f, g xác định trên I (hoặc xác định trên I \ {x₀} ) và \(f(x) \ge g(x),\forall x \in I\backslash \{ {x_0}\}\)

Nếu \(\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = M \end{array} \right.\,\,\,thi\,L \ge M \)

Cho I là khoảng mở chứa x₀. Hàm số f, g, h xác định trên I (hoặc xác định trên I \ {x₀} ) và \(f\left( x \right){\rm{ }} \le {\rm{ }}g\left( x \right){\rm{ }} \le {\rm{ }}h\left( x \right),{\rm{ }}\forall x{\rm{ }} \in I\backslash {\rm{ }}\left\{ {{x_0}} \right\}\).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} h(x) = L\,\,\,thi\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = \,L\)

Ví dụ: Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}\sin \frac{1}{2}\)

Ta có: \(0 \le \left| {{x^2}\sin \frac{1}{x}} \right| \le {x^2},\forall x \ne 0\)

Mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 0 = 0\,nen\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left| {{x^2}\sin \frac{1}{x}} \right| = 0\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}\sin \frac{1}{x} = 0\)

Cho hàm số I xác định trên D. Ta nói

• f bị chận trên trên D nếu \(\exists M{\rm{ }}:{\rm{ }}f\left( x \right){\rm{ }} \le M,{\rm{ }}\forall x{\rm{ }} \in {\rm{ }}D\)
• f bị chận dưới trên D nếu \(\exists M{\rm{ }}:{\rm{ }}f\left( x \right){\rm{ }} \ge M,{\rm{ }}\forall x{\rm{ }} \in {\rm{ }}D\)
• f bị chận trên D ⇔ f bị chận trên, bị chận dưới trên D \( \Leftrightarrow \exists M{\rm{ }}:{\rm{ }}\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{ }} \le {\rm{k}},{\rm{ }}\forall x{\rm{ }} \in {\rm{ }}D\)

Từ mệnh đề 7, ta thấy nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\) tồn tại hữu hạn thì có một khoảng mở J chứa x₀ để f bị chặn trên J\{x₀} (f có giới hạn hữu hạn tại x₀ ⇒ f bị chặn trên khoảng mở chứa x₀ (có thể ngoại trừ x₀))

Cho I là khoảng mở chứa x₀. Hàm số f xác định trên I (hoặc xác định trên I\{x₀} ).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = 0\,\,va\,\,\left| {g(x)} \right| \le M,\forall x \in I\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\,\,thi\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)g(x) = 0\)