Luyện tập 5 trang 51 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Phương pháp giải

Vận dụng tính chất của hai mặt phằng vuông góc.

Lời giải chi tiết

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy ABC. Ta có:

\(SH^{2}=SB^{2}-BH^{2}\)

\(SB=\frac{a}{2\sqrt{2}}.\sqrt{a^{2}+(\frac{a\sqrt{5}}{2})^{2}}\) và \(BH=\frac{a}{2}\) (do tam giác SBC đều) 

Từ đó suy ra: \(SH^2 = (\frac{a}{2\sqrt{2}} \cdot \sqrt{a^2 + (\frac{a\sqrt{5}}{2})^2})^2 - (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{8}\)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác SAH

với \(AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

\(\cos(\widehat{SAH})=\frac{SH^{2}+SA^{2}-AH^{2}}{2.SH.SA}\)

\(\cos(\widehat{SAH})=\frac{\frac{a^{2}}{8}+a^{2}-(\frac{a\sqrt{6}}{3})^{2}}{2.\frac{a}{\sqrt{8}}.a}=\frac{5}{6\sqrt{2}}\)

Vậy góc nhị diện [S, BC, A] có số đo là:

\(\widehat{SAH}=\cos^{-1}(\frac{5}{6\sqrt{2}})\approx 38^\circ\)

-- Mod Toán 11 HỌC247