Bài tập 43 trang 216 SGK Toán 11 NC
Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1, ta có:
a) Nếu \(f(x) = \frac{1}{x}\) thì \({f^{(n)}}(x) = \frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}\)
b) Nếu f(x) = cos x thì \({f^{(4n)}}(x) = cosx.\)
c) Nếu f(x) = sin ax (a là hằng số) thì \({f^{(4n)}}(x) = {a^{4n}}sinax\)
Hướng dẫn giải chi tiết
a) Cho \(f(x) = \frac{1}{x}(x \ne 0)\)., Ta chứng minh:
\({f^{(n)}}(x) = \frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}(\forall x \ge 1)\) bằng phương pháp qui nạp
- Với n = 1, ta có:
\({f^{(n)}}(x) = f\prime (x) = - \frac{1}{{{x^2}}}\) và
\(\frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}} = - \frac{1}{{{x^2}}}\)
Suy ra (1) đúng khi n = 1.
- Giả sử (1) đúng cho trường hợp n = k(k ≥ 1), tức là:
\({f^{\left( k \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}\)
Ta phải chứng minh (1) cũng đúng cho trường hợp n = k + 1, tức là:
\({f^{\left( {k + 1} \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}.\left( {k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}\)
Thật vậy, ta có:
\(\begin{array}{l}
{f^{(k + 1)}}(x) = [{f^{(k)}}(x)]\prime \\
= - \frac{{{{( - 1)}^k}k!.(k + 1){x^k}}}{{{x^{2(k + 1)}}}}\\
= \frac{{{{( - 1)}^{k + 1}}.(k + 1)!}}{{{x^{k + 2}}}}
\end{array}\)
b) Cho f(x) = cosxx. Chứng minh công thức :
\({f^{(4n)}}(x) = cosx(\forall n \ge 1)(2)\) bằng phương pháp qui nạp:
Ta có: f′(x) = −sinx; f"(x) = −cosx
\(f'''\left( x \right) = \sin x;{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = \cos x\)
+ Với n = 1 thì f(4n)(x)=f(4)(x)=cosxf(4n)(x)=f(4)(x)=cosx
Suy ra (2) đúng khi n = 1
+ Giả sử (2) đúng cho trường hợp n = k (k ≥ 1), tức là : f(4k) (x) = cosx,
Ta phải chứng minh (2) cũng đúng cho trường hợp n = k + 1, tức là phải chứng minh ::
\({f^{(4(k + 1))}}(x) = cosx(hay\,{f^{(4k + 4)}}(x) = cosx)\)
Thật vậy,
\(\begin{array}{l}
{f^{(4k)}}(x) = \cos x \Rightarrow {f^{(4k + 1)}}(x) = - \sin x\\
{f^{(4k + 2)}}(x) = - \cos x\\
{f^{(4k + 3)}}(x) = \sin x\\
{f^{(4k + 4)}}(x) = \cos x
\end{array}\)
c) Ta có:
\(\begin{array}{l}
f\prime (x) = a\cos ax\\
f(x) = - {a^2}\sin ax\\
{f^{(3)}}(x) = - {a^3}\cos ax\\
{f^{(4)}}(x) = {a^4}\sin ax
\end{array}\)
Với n = 1 ta có f(4)(x) = a4sinax,, đẳng thức đúng với n = 1
Giả sử đẳng thức đúng với n = k tức là : f(4k)(x) = a4ksinax
Với n = k + 1 ta có:
\({f^{(4k + 4)}}(x) = {({f^{(4k)}})^{(4)}}(x) = {({a^{4k}}\sin ax)^{(4)}}\)
Do \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k}}\sin ax\)
\(\begin{array}{l}
{f^{(4k + 1)}}(x) = {a^{4k + 1}}\cos ax\\
{f^{(4k + 2)}}(x) = - {a^{4k + 2}}\sin ax\\
{f^{(4k + 3)}}(x) = - {a^{4k + 3}}\cos ax\\
{f^{(4k + 4)}}(x) = {a^{4k + 4}}\sin ax
\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1, do đó đẳng thức đúng với mọi n.
-- Mod Toán 11 HỌC247
Bài tập SGK khác
-
Tìm f^(n) (x) biết f(x)=sin^2 ax.cos bx
bởi Choco Choco 24/10/2018
Cho \(f\left(x\right)=\sin^2ax.\cos bx\). Tìm \(f^{\left(n\right)}\left(x\right)\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh hàm số y=x^sinx thỏa y'cosx-ysinx-y''=0
bởi Van Tho 25/10/2018
Chứng minh rằng hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho :
Nếu \(y=x^{\sin x}\) thì \(y'\cos x-y\sin x-y"=0\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm f^(4) (x) biết f(x)=xln x
bởi Nguyễn Minh Hải 24/10/2018
Cho \(f\left(x\right)=x.\ln x\)
a. Tìm \(f^{\left(4\right)}\left(x\right)\)
b. Từ đó suy ra \(f^{\left(n\right)}\left(x\right)\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời