Bài tập 47 trang 219 SGK Toán 11 NC

a)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{f\prime (x) = 1 + \tan 2x}\\
{f(x) = 2\tan x.(1 + {{\tan }^2}x)}\\
\begin{array}{l}
{f^{(3)}}(x) = 2{(1 + {\tan ^2}x)^2}\\
 + 4{\tan ^2}x(1 + {\tan ^2}x)
\end{array}
\end{array}\)

b) \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) =  - {2^{4n - 1}}\cos 2x\)

Với n = 1 ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{f\prime (x) = \sin 2x}\\
{f(x) = 2\cos 2x}\\
{{f^{(3)}}(x) =  - 4\sin 2x}\\
{{f^{(4)}}(x) =  - 8\cos 2x}
\end{array}\)

Vậy (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k tức là : 

\({f^{(4k)}}(x) =  - {2^{4k - 1}}\cos 2x\)

Với n = k + 1 ta có :

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{f^{(4k + 1)}}(x) = ({f^{(4k)}}(x))\prime  = {2^{4k}}\sin 2x}\\
{{f^{(4k + 2)}}(x) = {2^{4k + 1}}\cos 2x}\\
{{f^{(4k + 3)}}(x) =  - {2^{4k + 2}}\sin 2x}\\
{{f^{(4k + 4)}}(x) =  - {2^{4k + 3}}\cos 2x}
\end{array}\)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi n.

-- Mod Toán 11 HỌC247