Bài tập 3 trang 33 SGK Hình học 11

Gọi (I'; R') là ảnh của đường tròn(I; R) (R=2) qua phép quay \(Q_{(O,45^0)}\)

Ta có: \(\overrightarrow{OI}=(1;1),\overrightarrow{OI'}=(x';y')\)

Vì \(I'=Q_{(O,45^0)} (I)\) nên 

\(\left\{ \begin{array}{l}
\cos {45^0} = \frac{{\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {OI'} }}{{\left| {\overrightarrow {OI} } \right|.\left| {\overrightarrow {OI'} } \right|}}\\
\left| {\overrightarrow {OI} } \right| = \left| {\overrightarrow {OI'} } \right|
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x' + y'}}{{\sqrt 2 .\sqrt {x{'^2} + y{'^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
\sqrt 2  = \sqrt {x{'^2} + y{'^2}} 
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x'^2+y'^2}=x'+y'\\ \sqrt{x'^2+y'^2}=\sqrt{2} \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x'=0\\ y'=\sqrt{2} \end{matrix}\right.\) hoặc \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x'=\sqrt{2}\\ y'= 0 \end{matrix}\right.\) nhưng góc quay dương nên \(I(O; \sqrt{2})\) và theo tính chất của phép quay thì R' = R = 2.

Gọi (I''; R'') là ảnh của (I'; R') qua phép vị tự \(V_{(O,\sqrt{2})}\), khi đó

\(I''=V_{(O,\sqrt{2})}(I')\Leftrightarrow \overrightarrow{OI''}=\sqrt{2}\overrightarrow{OI'}\)

Mà \(\overrightarrow{OI''}=(x'', y''), \overrightarrow{OI'}=(0;\sqrt{2})\) nên \(\left\{\begin{matrix} x''=\sqrt{2.0}\\ y''=\sqrt{2}.\sqrt{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x'' =0\\ y''=2 \end{matrix}\right.\)

⇔ I''(0;2) và theo tính chất của phép vị tự thì \(R''=\sqrt{2}.R'=\sqrt{2}.2=2\sqrt{2}.\)

Vậy đường tròn (I'') có phương trình: \(x^2+(y-2)^2=8\) là của đường tròn tâm I(1;1) bán kính bằng 2 qua phép đồng dạng nói trên.

-- Mod Toán 11 HỌC247