Giải bài 27 trang 13 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Phương pháp giải

Ta có: \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\) với \(0 \le k \le n\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có 

\(\begin{array}{l}
kC_n^k = k.\frac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}\\
 = \frac{{k.n!}}{{k.\left( {k - 1} \right)!.\left( {n - k} \right)!}}\\
 = \frac{{n.\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {k - 1} \right)!.\left( {\left( {n - 1} \right) - \left( {k - 1} \right)} \right)!}}\\
 = nC_{n - 1}^{k - 1}
\end{array}\)

Vậy \(kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}\) với 1 ≤ k ≤ n.

b) Ta có 

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{k + 1}}.\frac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}\\
 = \frac{{n!}}{{\left( {k + 1} \right)!.\left( {n - k} \right)!}}\\
 = \frac{1}{{n + 1}}.\frac{{\left( {n + 1} \right).n!}}{{\left( {k + 1} \right)!.\left( {\left( {n + 1} \right) - \left( {k + 1} \right)} \right)!}}\\
 = \frac{1}{{n + 1}}.\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {k + 1} \right)!.\left( {\left( {n + 1} \right) - \left( {k + 1} \right)} \right)!}}\\
 = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}
\end{array}\)

Vậy \(\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\) với 0 ≤ k ≤ n.

-- Mod Toán 10 HỌC247